March 04, 2025
 ñòàòüå àâòîðà [arXiv: 2404.19433] áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî îáîëî÷êà Àðåíñà–Ìàéêëà ðàçðåøèìîé àëãåáðû Ëè ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì. Çäåñü ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ àëãåáð àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ íà ñâÿçíîé êîìïëåêñíîé ãðóïïå Ëè àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå âûïîëíåíî áåç ïðåäïîëîæåíèÿ î ðàçðåøèìîñòè, è, áîëåå òîãî, ãîìîìîðôèçìû ïîïîëíåíèÿ áîëåå îáùåãî âèäà òàêæå ÿâëÿþòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèìè ýïèìîðôèçìàìè.  ÷àñòíîñòè, ýòî âûïîëíåíî äëÿ îáîëî÷êè îòíîñèòåëüíî êëàññà áàíàõîâûõ PI-àëãåáð.
Îáà îñíîâíûõ ïîíÿòèÿ, îáñóæäàåìûå â ýòîé ñòàòüå, — ãîìîëîãè÷åñêèå ýïèìîðôèçìû è îáîëî÷êè Àðåíñà–Ìàéêëà — áûëè ââåäåíû Äæîçåôîì Òåéëîðîì â åãî ðàáîòàõ íà÷àëà 1970-õ (õîòÿ è ïîä äðóãèìè íàçâàíèÿìè). Èì æå â íåÿâíîé ôîðìå áûë ïîñòàâëåí âîïðîñ: ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ äëÿ äàííîé êîíå÷íîìåðíîé êîìïëåêñíîé àëãåáðû Ëè \(\mathfrak{g}\) îáîëî÷êà Àðåíñà–Ìàéêëà å¸ óíèâåðñàëüíîé îáåðòûâàþùåé àëãåáðû \(U(\mathfrak{g})\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì? (ßâíî ñôîðìóëèðîâàí â [1]).  ðåçóëüòàòå ðÿäà óñèëèé, ïðèëîæåííûõ Äîñè, Ïèðêîâñêèì è àâòîðîì, îêîí÷àòåëüíûé îòâåò áûë ïîëó÷åí â [2]: óêàçàííàÿ îáîëî÷êà ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà \(\mathfrak{g}\) ðàçðåøèìà.
Îñíîâíîé öåëüþ ýòîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî îãðàíè÷åíèå íà ðàçðåøèìîñòü îòñóòñòâóåò äëÿ àëãåáðû àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ \({\mathscr A}(G)\) íà ñâÿçíîé êîìïëåêñíîé ãðóïïå Ëè \(G\). À èìåííî, ìû ïîêàæåì, ÷òî îáîëî÷êà Àðåíñà–Ìàéêëà \({\mathscr A}(G)\to \widehat{\mathscr A}(G)\) è îáîëî÷êà îòíîñèòåëüíî êëàññà áàíàõîâûõ PI-àëãåáð \({\mathscr A}(G)\to\widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\) ÿâëÿþòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèìè ýïèìîðôèçìàìè (òåîðåìà 10).
Ýòà ñòàòüÿ ÿâëÿåòñÿ çàâåðøåíèåì ñåðèè ðàáîò àâòîðà, ïîñâÿù¸ííûõ òåìàì, òåñíî ñâÿçàííûì ñ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷åé. Ñîäåðæàùèåñÿ â íèõ óòâåðæäåíèÿ, ïîìèìî òîãî, ÷òî íåîáõîäèìû äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 11 (îáùåãî óòâåðæäåíèÿ, èç êîòîðîãî âûâîäÿòñÿ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ýòîé ñòàòüè), òàêæå ïðåäñòàâëÿþò è ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ. Ðàçëîæåíèå àëãåáðû àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ è å¸ ïîïîëíåíèé (â òîì ÷èñëå \(\widehat{\mathscr A}(G)\) è \(\widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\)) â èòåðèðîâàííûå àíàëèòè÷åñêèå ñìýø-ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷åíû â [3], à îáñóæäåíèå ãîìîëîãè÷åñêèõ ýïèìîðôèçìîâ äëÿ óíèâåðñàëüíûõ îáåðòûâàþùèõ àëãåáð ñîäåðæèòñÿ â [2]. Ïåðâàÿ èç ýòèõ ñòàòåé îïèðàåòñÿ íà ðåçóëüòàòû î ðàçëîæåíèè ôóíêöèé äëèíû èç [4] (êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, îáîáùàåò [5]) è [6], ãäå èçó÷åí âîïðîñ î òîì, êîãäà ïîïîëíåíèå óíèâåðñàëüíîé îáåðòûâàþùåé àëãåáðû ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâîé PI-àëãåáðîé. Êðîìå òîãî, â [7] áûëî óòî÷íåíî ñòðîåíèå ëèíåàðèçàòîðà ñâÿçíîé ãðóïïû Ëè, ÷òî òàêæå íåîáõîäèìî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 11.
 íåêîòîðûõ âîïðîñàõ àëãåáðû è àíàëèçà òðåáîâàíèå òîãî, ÷òî ãîìîìîðôèçì àëãåáð ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì, îêàçûâàåòñÿ ñëèøêîì ñèëüíûì è äîëæíî áûòü ñìÿã÷åíî. Ñîîòâåòñòâóþùåå áîëåå ñëàáîå ïîíÿòèå â êîíòåêñòå òîïîëîãè÷åñêèõ àëãåáð ôîðìóëèðóåòñÿ òàê. Íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì ïîëíûõ ëîêàëüíî âûïóêëûõ àëãåáð ñ ñîâìåñòíî íåïðåðûâíûì óìíîæåíèåì (ìû íàçûâàåì èõ \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðàìè) íàçûâàåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì, åñëè ïðîèçâîäíûé ôóíêòîð îò ôóíêòîðà îòñòóïëåíèÿ ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè êàòåãîðèÿìè ìîäóëåé ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óíèâàëåíòíûì.  ýòîé ñòàòüå ÿçûê ïðîèçâîäíûõ êàòåãîðèé îêàçàëñÿ íå íóæåí, òàê êàê äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå â êëàññè÷åñêèõ òåðìèíàõ ðåçîëüâåíò, ñì. § 2. Ñàìî ïîíÿòèå ãîìîëîãè÷åñêîãî ýïèìîðôèçìà âîñõîäèò ê Äæ. Òåéëîðó [8] è áûëî íåîäíîêðàòíî ïåðåîòêðûòî â ðàçíûõ êîíòåêñòàõ è ïîä ðàçíûìè èìåíàìè, ñì. îáñóæäåíèå è èñòîðèþ òåðìèíîëîãèè â [9].
Âàæíûì äëÿ ïðèëîæåíèé ñâîéñòâîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ãîìîëîãè÷åñêèå ýïèìîðôèçìû ñîõðàíÿþò íåïðåðûâíûå êîãîìîëîãèè ñ êîýôôèöèåíòàìè â \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëÿõ [8]. Íàïðèìåð, åñëè åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå ìåæäó ãðóïïîâûìè àëãåáðàìè ðàçëè÷íîãî òèïà ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì, òî ñîîòâåòñòâóþùèå êîãîìîëîãèè ñîâïàäàþò, ñì., íàïðèìåð, ÷àñòíûå ñëó÷àè â [10], [11].
Åñòåñòâåííûì ïðèëîæåíèåì ãîìîëîãè÷åñêèõ ýïèìîðôèçìîâ ÿâëÿåòñÿ îöåíêà ãîìîëîãè÷åñêèõ ðàçìåðíîñòåé, ñì. [12]. Òàêæå â êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ ìîæíî ïðèâåñòè ïðåïðèíò Ìàéåðà [13], ãäå ïîêàçàíî, ÷òî, èñïîëüçóÿ èõ, ìîæíî íå òîëüêî óïðîñòèòü âû÷èñëåíèå öèêëè÷åñêèõ êîãîìîëîãèé ãëàäêîãî íåêîììóòàòèâíîãî òîðà, ïðåäïðèíÿòîå Êîííîì â [14], íî è ñäåëàòü åãî áîëåå ïîíÿòíûì. Êðîìå òîãî, ñëàáàÿ âåðñèÿ ïîíÿòèÿ ãîìîëîãè÷åñêîãî ýïèìîðôèçìà ïðèìåíåíà Ïèðêîâñêèì äëÿ õàðàêòåðèçàöèè îòêðûòûõ âëîæåíèé ìíîãîîáðàçèé Øòåéíà [15], à â äàëüíåéøåì ýòîò ðåçóëüòàò áûë ðàñïðîñòðàí¸í è íà îáùèå ïðîñòðàíñòâà Øòåéíà [9], [16].
Îáðàùàÿñü ê èñõîäíîìó âîïðîñó î ñâîéñòâàõ îáîëî÷åê Àðåíñà–Ìàéêëà, ïðèâåä¸ì ìîòèâèðîâêó — îòêóäà âîçíèêëà ïîòðåáíîñòü èçó÷àòü èõ ñ ãîìîëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Ïðîáëåìàòèêà ïîÿâèëàñü â ðàáîòàõ Òåéëîðà íà÷àëà 70-ûõ [8], [17]–[19], ïîñâÿù¸ííûõ ñïåêòðàëüíîé òåîðèè íåñêîëüêèõ êîììóòèðóþùèõ è íåêîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ â áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Òåéëîð ïðåäëîæèë ãîìîëîãè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ñïåêòðà ïðåäñòàâëåíèÿ (ìîäóëÿ), îñíîâàííîå íà ïðîèçâîäíîì ôóíêòîðå \({\mathop{\mathrm{Tor}}\nolimits}\). Ïóñòü \(A\) — íåêîòîðàÿ àëãåáðà íàä \(\mathbb{C}\), íàïðèìåð, êîíå÷íîïîðîæä¸ííàÿ (÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ íåñêîëüêèõ îïåðàòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ çàäàííûì ñîîòíîøåíèÿì), à âîîáùå ãîâîðÿ, ëîêàëüíî âûïóêëàÿ. Ñïåêòð ëåâîãî ëîêàëüíî âûïóêëîãî ìîäóëÿ \(N\) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîäìíîæåñòâî êàêèì-ëèáî îáðàçîì âûáðàííîãî ñòðóêòóðíîãî ïðîñòðàíñòâà (ñîñòîÿùåãî èç êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïðàâûõ ìîäóëåé \(M\)) çàäàííîå óñëîâèåì \({\mathop{\mathrm{Tor}}\nolimits}_n^{A}(M,N)\neq 0\) äëÿ íåêîòîðîãî \(n\in\mathbb{Z}_+\) (çäåñü ìû ñëåäóåì èíòåðïðåòàöèè èäåé Òåéëîðà èç ââåäåíèÿ ê [1], ñì. òàì æå ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå). Îòìåòèì, ÷òî äëÿ íåêîììóòàòèâíûõ àëãåáð æåëàòåëüíî åù¸ óñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïðàâûìè è ëåâûìè ìîäóëÿìè.
Óæå íåñêîëüêî äåñÿòèëåòèé ðàçâèâàåòñÿ ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé ðàçðåøèìûõ àëãåáð Ëè â áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ (îñíîâàííàÿ íà îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ), èíèöèèðîâàííàÿ Ôàéíøòåéíîì [20] (äëÿ íèëüïîòåíòíûõ), à òàêæå Áîàññî è Ëàðîòîíäà [21], ñì. êíèãó [22]. Îíà èñïîëüçóåò áîëåå ïðîñòîå îïðåäåëåíèå ñïåêòðà ÷åðåç êîìïëåêñ Êîøóëÿ, èäåÿ êîòîðîãî òîæå âîñõîäèò ê Òåéëîðó. Èç áîëåå ñîâðåìåííûõ ðàáîò ñëåäóåò óêàçàòü ñåðèþ ñòàòåé Äîñè, ñì., íàïðèìåð, [23]–[26].
Îñíîâíûì ìîòèâîì Òåéëîðà ïðè ââåäåíèè ãîìîëîãè÷åñêîãî ïîíÿòèÿ ñïåêòðà áûëî, ïî-âèäèìîìó, æåëàíèå ïîñòðîèòü ôóíêöèîíàëüíîå èñ÷èñëåíèå íå òîëüêî äëÿ êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ (â ÷¸ì îí ïðåóñïåë), íî è äëÿ íåêîììóòèðóþùèõ, ãäå îí òîëüêî çàëîæèë îñíîâû òåîðèè. Íàäî ïðèçíàòü, ÷òî, â îòëè÷èå îò êîììóòàòèâíîé, óñïåõè íåêîììóòàòèâíîé ñïåêòðàëüíîé òåîðèè â ïîñòðîåíèè ôóíêöèîíàëüíûõ èñ÷èñëåíèé íå ñëèøêîì âåëèêè. Íàèáîëåå ñèëüíûì ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíîå (íî ïðè ýòîì äîâîëüíî òðóäíîå) óòâåðæäåíèå î ôóíêöèîíàëüíîì èñ÷èñëåíèè äëÿ íèëüïîòåíòíûõ àëãåáð Ëè [26]. Ïîâåäåíèå æå ñïåêòðà, îïðåäåë¸ííîãî ÷åðåç Tor íà ìíîæåñòâå îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé, èìååò ïàòîëîãèè äàæå â ïðîñòåéøèõ ïðèìåðàõ ðàçðåøèìûõ àëãåáð Ëè, íå ÿâëÿþùèõñÿ íèëüïîòåíòíûìè, ñì., íàïðèìåð, [27].
Èäåÿ èñïîëüçîâàòü ïðè îïðåäåëåíèè ñïåêòðà ýëåìåíòû íåêîòîðîé áîëüøåé àëãåáðû âîñõîäèò ê êëàññè÷åñêèì îáðàçöàì. Åù¸ âî ââåäåíèÿõ ê ñòàòüÿì [8], [19] Òåéëîð îáðàòèë âíèìàíèå íà âàæíîñòü òåõ ãîìîìîðôèçìîâ â íåêîòîðóþ àëãåáðó “íåêîììóòàòèâíûõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé”, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèìè â ñîâðåìåííîé òåðìèíîëîãèè. Ãîìîìîðôèçì \(A\to B\) èíäóöèðóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé \[{\mathop{\mathrm{Tor}}\nolimits}_n^{A}(M,N) \to {\mathop{\mathrm{Tor}}\nolimits}_n^{B}(M,N)\qquad (n\in\mathbb{Z}_+)\] äëÿ ñîîòâåòñòâåííî ïðàâîãî è ëåâîãî \(B\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëÿ \(M\) è \(N\). Åñëè ýòè îòîáðàæåíèÿ áèåêòèâíû äëÿ âñåõ \(M\), \(N\) è \(n\) (ò.å. ãîìîìîðôèçì ñîõðàíÿåò êðó÷åíèå, ñì. [28]), òî, î÷åâèäíî, äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå ñïåêòðà íå çàâèñèò îò òîãî, êàêàÿ àëãåáðà èñïîëüçîâàíà, \(A\) èëè \(B\). Äëÿ áèåêòèâíîñòè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû \(A\to B\) áûë ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì [8].
×òî êàñàåòñÿ âûáîðà àëãåáðû \(B\), òî åñëè ðå÷ü èä¸ò îò ïðåäñòàâëåíèÿõ â áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ, å¸ ìîæíî ñ÷èòàòü áàíàõîâîé èëè ïî êðàéíåé ìåðå, àïïðîêñèìèðóåìîé áàíàõîâûìè (ò.å. àëãåáðîé Àðåíñà–Ìàéêëà). Åñòåñòâåííûì êàíäèäàòîì îêàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíàÿ àëãåáðà Àðåíñà–Ìàéêëà, àññîöèèðîâàííàÿ ñ \(A\), — å¸ îáîëî÷êà Àðåíñà–Ìàéêëà \(\widehat A\) (â ñèëó òîãî, ÷òî ñòðóêòóðà áàíàõîâà ìîäóëÿ àâòîìàòè÷åñêè ïðîäîëæàåòñÿ ñ \(A\) íà \(\widehat A\)). Íàïîìíèì, ÷òî îáîëî÷êà Àðåíñà–Ìàéêëà òîïîëîãè÷åñêîé àëãåáðû ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà êàê ïîïîëíåíèå îòíîñèòåëüíî ñåìåéñòâà âñåõ íåïðåðûâíûõ ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûõ ïðåäíîðì. Îíà îáëàäàåò óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì â êëàññå âñåõ áàíàõîâûõ àëãåáð. Îãðàíè÷èâàÿ êëàññ àëãåáð, ìû ïîëó÷àåì òàêæå îáîëî÷êó â êëàññå áàíàõîâûõ PI-àëãåáð (îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç \(\widehat A^{\mathrm{PI}}\)). Ýòî ïîíÿòèå ââåäåíî â [3] ïðè èññëåäîâàíèè ñëó÷àÿ \(A={\mathscr A}(G)\). (Íàïîìíèì, ÷òî \({\mathscr A}(G)\) — ýòî ñâ¸ðòî÷íàÿ àëãåáðà àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ íà êîìïëåêñíîé ãðóïïå Ëè \(G\), ïîäðîáíîñòè ñì. â § 2.)
Òàêèì îáðàçîì, âîïðîñ î òîì, êîãäà îáîëî÷êà Àðåíñà–Ìàéêëà ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì, òåñíî ñâÿçàí ñî ñïåêòðàëüíîé òåîðèåé.  ÷àñòíîñòè, ðàññìàòðèâàÿ âîïðîñ î òîì, áóäóò ëè ýïèìîðôèìû \({\mathscr A}(G)\to \widehat{\mathscr A}(G)\) è \({\mathscr A}(G)\to \widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\) ÿâëÿòüñÿ ãîìîëîãè÷åñêèìè, ìû ñðàâíèâàåì ñïåêòðàëüíûå òåîðèè ãîëîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé \(G\) â ëîêàëüíî âûïóêëûõ è â áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ (âî âòîðîì ñëó÷àå — ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì íàëè÷èÿ ïîëèíîìèàëüíîãî òîæäåñòâà, îáùåãî äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ îáðàçà)1. Îäíàêî íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ íå ñîäåðæèò ðåçóëüòàòîâ ïî ñïåêòðàëüíîé òåîðèè — äëÿ íàñ îíà ÿâëÿåòñÿ ëèøü èñòî÷íèêîì èñõîäíîãî âîïðîñà.
Åñëè \(G\) îäíîñâÿçíà, à \(\mathfrak{g}\) — å¸ àëãåáðà Ëè, òî \(\widehat{\mathscr A}(G)\cong \widehat U(\mathfrak{g})\) è \(\widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\cong \widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}\). Ïîýòîìó èçó÷àòü \(\widehat{\mathscr A}(G)\) è \(\widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\) êàê îáîáùåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî \(\widehat U(\mathfrak{g})\) è \(\widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}\) êàæåòñÿ äîâîëüíî åñòåñòâåííûì.
 [3] ïîêàçàíî, ÷òî \(\widehat{\mathscr A}(G)\) è \(\widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\) ÿâëÿþòñÿ êðàéíèìè ÷ëåíàìè ñåìåéñòâà ïîïîëíåíèé àëãåáðû \({\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\), èíäåêñèðîâàííîãî ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûìè âåñàìè \(\omega\), îáëàäàþùèìè íåêîòîðûì ñâîéñòâîì ìàêñèìàëüíîñòè. Êàê øàã ê îñíîâíîìó ðåçóëüòàòó, ìû äîêàæåì îáùåå óòâåðæäåíèå, âêëþ÷àþùåå \(\widehat{\mathscr A}(G)\) è \(\widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\) êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè: åñëè \(G\) — ñâÿçíàÿ ëèíåéíàÿ êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè, òî \({\mathscr A}(G)\to {\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì (ñì. åùå áîëåå îáùóþ ôîðìóëèðîâêó â òåîðåìå 11).
Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî \({\mathscr A}(G)\to {\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\) — ãîìîëîãè÷åñêèé ýïèìîðôèçì, ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñîãëàñîâàííûå ðàçëîæåíèÿ îáåèõ àëãåáð â èòåðèðîâàííîå àíàëèòè÷åñêîå ñìýø-ïðîèçâåäåíèå, ïîëó÷åííûå â [3]. Ïîíÿòèå àíàëèòè÷åñêîãî ñìýø-ïðîèçâåäåíèÿ ââ¸ë Ïèðêîâñêèé â [31] èìåííî ñ öåëüþ èçó÷åíèÿ ãîìîëîãè÷åñêèõ ñâîéñòâ îáîëî÷åê Àðåíñà–Ìàéêëà.
Ðåçóëüòàòû àâòîðà èç [3] âêðàòöå ñâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùåìó. Äëÿ ñâÿçíîé ëèíåéíîé ãðóïïû Ëè \(G\) ìîæíî ïîñòðîèòü ðàçëîæåíèå â èòåðèðîâàííîå ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå \[G\cong ((\cdots (F_1 \rtimes F_2)\rtimes\cdots) \rtimes F_n),\] òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íå òîëüêî \({\mathscr A}(G)\) ðàçëàãàëîñü â èòåðèðîâàííîå ñìýø-ïðîèçâåäåíèå \[((\cdots ({\mathscr A}(F_1) \mathbin{\widehat{\#}}{\mathscr A}(F_2))\mathbin{\widehat{\#}}\cdots) \mathbin{\widehat{\#}}{\mathscr A}(F_n))\] (÷òî íå òàê óæ òðóäíî ïîêàçàòü), íî òàêæå è \({\mathscr A}_{{\omega}^\infty}(G)\): \[{\mathscr A}_{{\omega}^\infty}(G)\cong((\cdots ({\mathscr A}_{\omega_1^\infty}(F_1) \mathop{\widehat{\#}} {\mathscr A}_{\omega_2^\infty}(F_2))\mathop{\widehat{\#}}\cdots) \mathop{\widehat{\#}} {\mathscr A}_{\omega_{k+1}^\infty}(F_{k+1}));\] çäåñü \({\mathscr A}_{\omega_i^\infty}(F_i)\) — ñïåöèàëüíûì îáðàçîì âûáðàííîå ïîïîëíåíèå \({\mathscr A}(F_i)\). Ñóùåñòâåííî, ÷òî ýïèìîðôèçìû \({\mathscr A}(F_i)\to {\mathscr A}_{\omega_i^\infty}(F_i)\) ÿâëÿþòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèìè è ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé äîïîëíèòåëüíûìè ãîìîëîãè÷åñêèìè ñîîòíîøåíèÿìè, ñì. § 4.
Îáùàÿ ñâÿçíàÿ êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè ðàçëàãàåòñÿ â êîìïîçèöèîííûé ðÿä \[1\lhd \mathrm{M}\lhd \Lambda \lhd B \lhd G,\] ãäå \(\mathrm{M}\) — ïîäãðóïïà, íà êîòîðîé âñå ãîëîìîðôíûå ôóíêöèè ïîñòîÿííû, \(\Lambda\) — ëèíåàðèçàòîð, \(B/\Lambda\) îäíîñâÿçíà è ðàçðåøèìà, à \(G/B\) ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíà.
 ñèëó îïðåäåëåíèÿ \({\mathscr A}(G)\) ìû ìîæåì èãíîðèðîâàòü \(\mathrm{M}\). Ãðóïïû \(\Lambda/ \mathrm{M}\) è \(G/B\) ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíû, ÷òî âëå÷¸ò ãîìîëîãè÷åñêóþ òðèâèàëüíîñòü \({\mathscr A}(\Lambda)\) è \({\mathscr A}(G/B)\).  ÷àñòíîñòè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ìîæåì èãíîðèðîâàòü \(\Lambda\) ïðè ïîñòðîåíèè ðåçîëüâåíòû. Õîòÿ \(G/B\) èãíîðèðîâàòü íå ïîëó÷èòñÿ, å¸ íåòðèâèàëüíîñòü ïî êðàéíåé ìåðå íå îòðàæàåòñÿ íà ãîìîëîãè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèêàõ. Òàêèì îáðàçîì, âñÿ íóæíàÿ èíôîðìàöèÿ î \({\mathscr A}(G)\) è å¸ ïîïîëíåíèÿõ ìîæåò áûòü â èòîãå âûâåäåíà èç ñâîéñòâ \(B/\Lambda\). Ïîñêîëüêó \(B/\Lambda\) îäíîñâÿçíà è ðàçðåøèìà, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ ïîïîëíåíèé óíèâåðñàëüíîé îáåðòûâàþùåé àëãåáðû ðàçðåøèìîé ãðóïïû Ëè. Ýòî â îñíîâíîì ïðîäåëàíî â ðàáîòå àâòîðà [2], ñì. òàì æå èñòîðèþ ýòîãî âîïðîñà.
Ñëåäóþùèå îòêðûòûå âîïðîñû ïðåäñòàâëÿþòñÿ èíòåðåñíûìè.
Ïîíÿòèå ëîêàëèçóþùåãî âåñà íà êîìïëåêñíîé ãðóïïå Ëè ââåäåíî íèæå â îïðåäåëåíèè 12.
Âîïðîñ 1. Ïðè êàêèõ îáùèõ óñëîâèÿõ âåñ ÿâëÿåòñÿ ëîêàëèçóþùèì?
Ïóñòü òåïåðü \(G\) — ñâÿçíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ãðóïïà Ëè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç \({\mathscr E}'(G)\) àëãåáðó ðàñïðåäåëåíèé ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì (ò.å. íåïðåðûâíûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ íà ïðîñòðàíñòâå âñåõ ãëàäêèõ ôóíêöèé) ñî ñâåðòêîé.
Âîïðîñ 2. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ \({\mathscr E}'(G)\to\widehat{\mathscr E}'(G)\) è \({\mathscr E}'(G)\to\widehat{\mathscr E}'(G)^{\mathrm{PI}}\) ÿâëÿþòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèìè ýïèìîðôèçìàìè?
Àâòîð õîòåë áû âûðàçèòü ïðèçíàòåëüíîñòü ðåöåíçåíòó çà äâà âûñîêîêà÷åñòâåííûõ îòçûâà, ñîäåðæàùèõ ìíîãî÷èñëåííûå çàìå÷àíèÿ, ó÷¸ò êîòîðûõ çíà÷èòåëüíî óëó÷øèë èçëîæåíèå (â ÷àñòíîñòè áûëè óïðîùåíû äîêàçàòåëüñòâà ïðåäëîæåíèé 27, 30 è 42), à òàêæå çà ññûëêó ñ äîêàçàòåëüñòâîì ëåììû 45.
×àñòü ýòîé ðàáîòû âûïîëíåíà âî âðåìÿ âèçèòà àâòîðà â ÍÈÓ ÂØÝ (ã. Ìîñêâà) çèìîé 2025 ã. Àâòîð áëàãîäàðåí ýòîìó óíèâåðñèòåòó è îñîáåííî À. Þ. Ïèðêîâñêîìó çà ãîñòåïðèèìñòâî. Àâòîð òàêæå áëàãîäàðåí À. B. Äîìðèíó çà ïîëåçíûå êîíñóëüòàöèè è ó÷àñòíèêàì ñåìèíàðà “Àëãåáðû â Àíàëèçå” (ìåõìàò ÌÃÓ), ãäå ïðåäâàðèòåëüíàÿ âåðñèÿ ýòîé ðàáîòû áûëà ðàññêàçàíà â 2018 ãîäó.
Äëÿ êîìïëåêñíîãî ìíîãîîáðàçèÿ \(M\) ìû îáîçíà÷àåì ÷åðåç \(\mathcal{O}(M)\) ëîêàëüíî âûïóêëîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé íà \(M\) (ñ òîïîëîãèåé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà êîìïàêòíûõ ïîäìíîæåñòâàõ), à ÷åðåç \({\mathscr A}(M)\) — ñèëüíîå äâîéñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî \(\mathcal{O}(M)'\) (ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ ñ òîïîëîãèåé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà îãðàíè÷åííûõ ïîäìíîæåñòâàõ). Åñëè \(N\) è \(M\) — êîìïëåêñíûå ìíîãîîáðàçèÿ, òî ïîñêîëüêó \(\mathcal{O}(N)\) è \(\mathcal{O}(M)\) ÿâëÿþòñÿ ÿäåðíûìè ïðîñòðàíñòâàìè Ôðåøå, èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå òîïîëîãè÷åñêèå èçîìîðôèçìû ïîëíûõ ëîêàëüíî âûïóêëûõ ïðîñòðàíñòâ (îíè ïîíàäîáÿòñÿ íèæå) \[\begin{gather} \label{LSCtnpr} {\mathscr A}(N\times M)=\mathcal{O}(N\times M)'\cong\\ \cong(\mathcal{O}(N)\mathbin{\widehat{\otimes}}\mathcal{O}(M))'\cong \mathcal{O}(N)'\mathbin{\widehat{\otimes}}\mathcal{O}(M)'= {\mathscr A}(N)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr A}(M). \end{gather}\tag{1}\] (Çäåñü \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\) îáîçíà÷àåò ïîëíîå ïðîåêòèâíîå òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ëîêàëüíî âûïóêëûõ ïðîñòðàíñòâ.)
Ïóñòü òåïåðü \(G\) — êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè. Òîãäà \(\mathcal{O}(G)\) ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé (îòíîñèòåëüíî ïîòî÷å÷íîãî óìíîæåíèÿ), íî è \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé Õîïôà. (Íàïîìíèì, ÷òî \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé Õîïôà íàçûâàåòñÿ àëãåáðà Õîïôà â ñèììåòðè÷åñêîé ìîíîèäàëüíîé êàòåãîðèè ïîëíûõ ëîêàëüíî âûïóêëûõ ïðîñòðàíñòâ ñ áèôóíêòîðîì \((-)\mathbin{\widehat{\otimes}}(-)\). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-êîàëãåáðû è \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-áèàëãåáðû.)
Ôîðìóëû \[\Delta_\mathcal{O} (f)(g, h) = f(gh),\quad \varepsilon_\mathcal{O} (f) = f(1),\quad (S_\mathcal{O} f)(g) = f(g^{-1})\] çàäàþò íà \(\mathcal{O}(G)\) êàíîíè÷åñêóþ ñòðóêòóðó \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðû Õîïôà. Òîãäà \({\mathscr A}(G)\) ìîæíî ñíàáäèòü äâîéñòâåííîé ñòðóêòóðîé \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðû Õîïôà. Óìíîæåíèå (ñâ¸ðòêà) íà \({\mathscr A}(G)\) çàäà¸òñÿ ôîðìóëîé \[\langle \alpha\beta, f\rangle\!:= (\alpha\otimes \beta)\Delta_\mathcal{O} (f) \qquad(\alpha\in{\mathscr A}(G),\,f\in\mathcal{O}(G)),\] à åäèíèöåé ÿâëÿåòñÿ äåëüòà-ôóíêöèÿ \(\delta_e\) â åäèíèöå ãðóïïû. Îñòàëüíûå îïåðàöèè îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè \[\Delta_{\mathscr A}(\alpha)(f_1\otimes f_2)=\langle \alpha, f_1f_2\rangle,\quad\varepsilon_{\mathscr A}(\alpha)=\langle \alpha, 1\rangle,\quad \langle S_{\mathscr A}(\alpha), f\rangle = \langle \alpha, S_\mathcal{O}(f)\rangle\] (çäåñü \(\alpha\in{\mathscr A}(G)\) è \(f,f_1,f_2\in\mathcal{O}(G)\)).
Íàïîìíèì, ÷òî ñòðîãî ïîëîæèòåëüíàÿ ëîêàëüíî îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ \(\omega\!: G \to\mathbb{R}\) íà ëîêàëüíî êîìïàêòíîé ãðóïïå \(G\) íàçûâàåòñÿ ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûì âåñîì, åñëè \(\omega(gh)\le \omega(g)\omega(h)\) äëÿ âñåõ \(g, h \in G\).
Ìû ãîâîðèì, ÷òî âåñ \(\omega_2\) ìàæîðèðóåò âåñ \(\omega_1\) (ïèøåì \(\omega_1\preceq \omega_2\)), åñëè íàéäóòñÿ \(C>0\) è \(\gamma>0\), òàêèå ÷òî \[\omega_1(g)\le C\,\omega_2(g)^\gamma \quad\text{äëÿ âñåõ g\in G.}\] Åñëè \(\omega_1\preceq \omega_2\) è \(\omega_2\preceq \omega_1\), òî ìû íàçûâàåì âåñà ýêâèâàëåíòíûìè (ïèøåì \(\omega_1\simeq \omega_2\)).
Ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûé âåñ \(\omega\) íà ëîêàëüíî êîìïàêòíîé ãðóïïå \(G\) íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñèììåòðè÷íûì, åñëè \(\omega\) ìàæîðèðóåò ôóíêöèþ \(g\mapsto\omega(g^{-1})\) è \(\omega(g)\ge 1\) äëÿ âñåõ \(g\in G\) [3].
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî íà êîìïàêòíî ïîðîæä¸ííîé ëîêàëüíî êîìïàêòíîé ãðóïïå ñóùåñòâóåò ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûé âåñ, êîòîðûé ìàæîðèðóåò âñå ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûå âåñà íà íåé; â ÷àñòíîñòè, ýòî âåðíî äëÿ ñâÿçíûõ ãðóïï. Ìû áóäåì íàçâàòü åãî ìàêñèìàëüíûì âåñîì.
Ïóñòü \(\omega\) — ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûé âåñ íà ëîêàëüíî êîìïàêòíîé ãðóïïå \(G\), à \(\omega_H\) — ìàêñèìàëüíûé âåñ íà å¸ çàìêíóòîé ïîäãðóïïå \(H\). Ñëåäóÿ [3], áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî \(\omega\) èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå èñêðèâëåíèå íà \(H\), åñëè íàéäóòñÿ \(C>0\) è \(\gamma>0\), òàêèå ÷òî \(1+\log \omega_H\) ìàæîðèðóåò \(\omega\) íà \(H\).
Ïóñòü \(\mathfrak{g}\) — àëãåáðà Ëè ñâÿçíîé ëèíåéíîé ãðóïïû Ëè \(G\). Íàïîìíèì, ÷òî ïîäãðóïïà, ïîðîæä¸ííàÿ \(\exp\mathfrak{h}\) äëÿ íåêîòîðîé ïîäàëãåáðû Ëè \(\mathfrak{h}\) â \(\mathfrak{g}\) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç \(N\) íèëüïîòåíòíûé ðàäèêàë \(G\) — èíòåãðàëüíóþ ïîäãðóïïó, àëãåáðà Ëè êîòîðîé åñòü íèëüïîòåíòíûé ðàäèêàë àëãåáðû Ëè \(\mathfrak{g}\), ò.å. ïåðåñå÷åíèå ÿäåð âñåõ êîíå÷íîìåðíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé \(\mathfrak{g}\) (ñì. [32] èëè [33]). Îáîçíà÷èì òàêæå ÷åðåç \(E\) ýêñïîíåíöèàëüíûé ðàäèêàë \(G\). Ìû îïóñêàåì åãî îïðåäåëåíèå, ñàì òåðìèí ïðåäëîæåí â [34], à â íóæíîé íàì îáùíîñòè îíî äàíî â [35]; ñì. òàêæå [5].
Åñëè \(N'\) — íîðìàëüíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ïîäãðóïïà òàêàÿ, ÷òî \(E\subset N'\subset N\), òî ñóùåñòâóåò ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûé âåñ, êîòîðûé ìàæîðèðóåò âñå ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûå âåñà, èìåþùèå ýêñïîíåíöèàëüíîå èñêðèâëåíèå íà \(N'\), ñì. [4] è [3]. Ìû íàçûâàåì åãî ìàêñèìàëüíûì âåñîì ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì èñêðèâëåíèåì íà \(N'\),
Ïóñòü òåïåðü \(G\) — êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè, à \(\omega\) — ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûé âåñ íà \(G\). Îáîçíà÷èì çàìûêàíèå â \({\mathscr A}(G)\) àáñîëþòíî âûïóêëîé îáîëî÷êè ïîäìíîæåñòâà \[\label{Vup} \{\omega(g)^{-1}\delta_g:\,x\in G\}\tag{2}\] ÷åðåç \(V_\omega\) (çäåñü \(\delta_g\) îáîçíà÷àåò äåëüòà-ôóíêöèþ â òî÷êå \(g\)). Ôóíêöèîíàë Ìèíêîâñêîãî íà \({{\mathscr A}}(G)\), àññîöèèðîâàííûé ñ \(V_\omega\), ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ïîëóíîðìîé íà \({{\mathscr A}}(G)\). Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç \(\|\cdot\|_{\omega}\), à ÷åðåç \({{\mathscr A}}_{\omega^\infty}(G)\) — ïîïîëíåíèå \({{\mathscr A}}(G)\) îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðåäíîðì \[(\|\cdot\|_{\omega^n};\,n\in\mathbb{N}),\qquad \text{ãäå \omega^n(g)\!:=\omega(g)^n.}\] Åñëè \(\omega\ge 1\), òî óìíîæåíèå íà \({\mathscr A}(G)\) ïðîäîëæàåòñÿ äî óìíîæåíèÿ íà \({\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\), ïðåâðàùàþùåãî å¸ â àëãåáðó Ôðåøå–Àðåíñà–Ìàéêëà [6], ñì. òàêæå [29], ãäå ýòà êîíñòðóêöèÿ áûëà âïåðâûå ââåäåíà.
Ïóñòü \(\mathcal{C}\) — íåêîòîðûé êëàññ áàíàõîâûõ àëãåáð. Ìû ãîâîðèì, ÷òî òîïîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà ëîêàëüíî ñîäåðæèòñÿ â êëàññå \(\mathcal{C}\), åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòèâíûì ïðåäåëîì àëãåáð èç \(\mathcal{C}\) â êàòåãîðèè òîïîëîãè÷åñêèõ àëãåáð.
Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü \(A\) — àññîöèàòèâíàÿ òîïîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà, à \(\mathcal{C}\) — êëàññ áàíàõîâûõ àëãåáð, ñòàáèëüíûé îòíîñèòåëüíî ïåðåõîäà ê çàìêíóòûì ïîäàëãåáðàì è êîíå÷íûì ïðîèçâåäåíèÿì. Ìû ãîâîðèì, ÷òî ïàðà \((\widehat A^{\mathcal{C}},\iota)\), ãäå \(\widehat A^{\mathcal{C}}\) -ëîêàëüíî ñîäåðæèòñÿ â \(\mathcal{C}\), à \(\iota\) íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì \(A\to\widehat A^{\mathcal{C}}\), ÿâëÿåòñÿ îáîëî÷êîé \(A\) â êëàññå \(\mathcal{C}\), åñëè âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî. Äëÿ âñÿêîé \(B\in\mathcal{C}\) è âñÿêîãî íåïðåðûâíîãî ãîìîìîðôèçìà \(\varphi\!: A\to B\) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì \(\widehat\varphi\!:\widehat A^{\mathcal{C}}\to B\), òàêîé ÷òî äèàãðàììà \[\label{AMen} \xymatrix{ A \ar[r]^{\iota}\ar[rd]_{\varphi}&\widehat A^\mathcal{C}\ar@{-->}[d]^{\widehat\varphi}\\ &B\\ }\tag{3}\] êîììóòàòèâíà.
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå îáîëî÷êè ñëåäóåò èç òðåáîâàíèÿ ñòàáèëüíîñòè \(\mathcal{C}\) îòíîñèòåëüíî ïåðåõîäà ê çàìêíóòûì ïîäàëãåáðàì è êîíå÷íûì ïðîèçâåäåíèÿì, ñì. ïîäðîáíîñòè â [36]. Êàê ëåãêî âèäåòü, îáîëî÷êà åäèíñòâåííà ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. Èç îïðåäåëåíèÿ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî îáîëî÷êà ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîðîì, ò.å. âñÿêèé íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì \(\theta\!:A\to B\) òîïîëîãè÷åñêèõ àëãåáð ïîðîæäàåò íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì \(\widehat{\theta}^\mathcal{C}\!:\widehat A^\mathcal{C}\to \widehat B^\mathcal{C}\).
Åñëè \(\mathcal{C}\) — êëàññ âñåõ áàíàõîâûõ àëãåáð, òî ïîëó÷àåì õîðîøî èçâåñòíóþ îáîëî÷êó Àðåíñà–Ìàéêëà, êîòîðàÿ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç \(\widehat A\). Åñëè \(\mathcal{C}\) — êëàññ áàíàõîâûõ PI-àëãåáð, òî ñîîòâåòñòâóþùóþ îáîëî÷êó îáîçíà÷àåì ÷åðåç \(\widehat A^{\mathrm{PI}}\) (îíà âïåðâûå îïðåäåëåíà â [3]). (Íàïîìíèì, ÷òî àññîöèàòèâíàÿ àëãåáðà \(A\) íàçûâàåòñÿ PI-àëãåáðîé, åñëè ñóùåñòâóþò \(n\in\mathbb{N}\) è íåíóëåâîé ýëåìåíò \(p\) ñâîáîäíîé àëãåáðû ñ \(n\) îáðàçóþùèìè, òàêèå ÷òî \(p(a_1,\ldots,a_n)=0\) äëÿ âñåõ \(a_1,\ldots,a_n\), ñì., íàïðèìåð, [37].)
Íàñ èíòåðåñóþò îáîëî÷êè àëãåáðû \({\mathscr A}(G)\), ãäå \(G\) — êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè.  ñâÿçíîì ñëó÷àå \(\widehat{\mathscr A}(G)\) è \(\widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\) èññëåäîâàíû â [38] è [3]. Îáå îíè ÿâëÿþòñÿ ñïåöèàëèçàöèÿìè àëãåáðû \({\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\), îïðåäåë¸ííîé âûøå.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé êîìïëåêñíîé ãðóïïû Ëè \(G\) ñ àëãåáðîé Ëè \(\mathfrak{g}\) ðàññìîòðèì ãîìîìîðôèçì \[\label{taudef} \tau\!:U(\mathfrak{g}) \to \mathscr{A}(G)\!:\langle \sigma(X), f\rangle\!:= [{\widetilde{X}}f](e) \qquad (X\in U(\mathfrak{g}),\, f \in \mathcal{O}(G)),\tag{4}\] ãäå \({\widetilde{X}}\) — ëåâîèíâàðèàíòíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé \(X\in U(\mathfrak{g})\). Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå â ïîíàäîáèòñÿ äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 14, ñì. § 6.
Ïðåäëîæåíèå 4. Ïóñòü \(\mathcal{C}\) — êëàññ áàíàõîâûõ àëãåáð, ñòàáèëüíûé îòíîñèòåëüíî ïåðåõîäà ê çàìêíóòûì ïîäàëãåáðàì è êîíå÷íûì ïðîèçâåäåíèÿì. Åñëè \(G\) îäíîñâÿçíà, òî ãîìîìîðôèçì \(\widehat U(\mathfrak{g})^\mathcal{C}\to \widehat{\mathscr A}(G)^\mathcal{C}\), ïîëó÷åííûé ïðèìåíåíèåì ôóíêòîðà îáîëî÷êè ê ãîìîìîðôèçìó \(\tau\), îïðåäåë¸ííîìó â 4 , ÿâëÿeòñÿ èçîìîðôèçìîì.
Ñíà÷àëà äîêàæåì ëåììó.
Ëåììà 5. Ïóñòü \(\theta\!:A\to B\) — ýïèìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð. Åñëè ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì \(j\!:B\to \widehat{A}^\mathcal{C}\), òàêîé ÷òî \(A\to \widehat A^\mathcal{C}\) ñîâïàäàåò ñ \(j\theta\), òî \(\widehat{\theta}^\mathcal{C}\!:\widehat{A}^\mathcal{C}\to \widehat{B}^\mathcal{C}\) ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð.
Proof.  ñëó÷àå, êîãäà \(\mathcal{C}\) — êëàññ âñåõ áàíàõîâûõ àëãåáð, óòâåðæäåíèå äîêàçàíî â [39].  îáùåì ñëó÷àå ðàññóæäåíèå òàêîå æå, ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî, êàê ëåãêî âèäåòü, 3 âûïîëíåíî äëÿ âñåõ àëãåáð, ëîêàëüíî ñîäåðæàùèõñÿ â \(\mathcal{C}\). ◻
Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 4.  ñëó÷àå, êîãäà \(\mathcal{C}\) — êëàññ âñåõ áàíàõîâûõ àëãåáð, â [39] ïîëó÷åí èçîìîðôèçì \(\widehat U(\mathfrak{g})\cong \widehat{\mathscr A}(G)\).  îáùåì ñëó÷àå ðàññóæäàåì àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. À èìåííî, â [1] ïîêàçàíî, ÷òî ëþáîé íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì èç \(U(\mathfrak{g})\) â àëãåáðó Àðåíñà–Ìàéêëà ïðîïóñêàåòñÿ ÷åðåç \(\tau\). Òàê êàê îáðàç \(\tau\) ïëîòåí (ñì. ôîðìóëó (42) â [1] è îáñóæäåíèå ïîñëå íå¸), èç ëåììû 5 ñëåäóåò, ÷òî \(\widehat U(\mathfrak{g})^\mathcal{C}\cong \widehat{\mathscr A}(G)^\mathcal{C}\). ◻
Çàìå÷àíèå 6.  ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, êîãäà \(\mathcal{C}\) — êëàññ âñåõ áàíàõîâûõ àëãåáð è êëàññ áàíàõîâûõ PI-àëãåáð èç ïðåäëîæåíèÿ 4 äëÿ îäíîñâÿçíîé \(G\) ïîëó÷àåì èçîìîðôèçìû \(\widehat U(\mathfrak{g})\cong \widehat{\mathscr A}(G)\) è \(\widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}\cong \widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\). Èç âòîðîãî èçîìîðôèçìà ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé ôàêò, óïîìÿíóòûé â [3]: äëÿ íèëüïîòåíòíîé \(\mathfrak{g}\) àëãåáðà \(\widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}\) òîïîëîãè÷åñêè èçîìîðôíà àëãåáðå ôîðìàëüíî-ðàäèêàëüíûõ ôóíêöèé â ñìûñëå Äîñè (ïîñëåäíÿÿ îïðåäåëåíà è èññëåäîâàíà â åãî ñòàòüÿõ [25], [26], [40], [41]).
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî àíàëèòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà \(\widehat U(\mathfrak{g})\) äëÿ íèëüïîòåíòíîé \(\mathfrak{g}\) îïèñàíà â [38], à àëãåáðàè÷åñêàÿ óòî÷íåíà â [3].
Íàïîìíèì îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ èç ãîìîëîãè÷åñêîé òåîðèè ëîêàëüíî âûïóêëûõ àëãåáð, ïîäðîáíîñòè ñì. â [42] è [43]. Ìû ðàññìàòðèâàåì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðû è \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëè íàä íèìè, ò.å. ïîëíûå ëîêàëüíî âûïóêëûå àëãåáðû è ìîäóëè ñ ñîâìåñòíî íåïðåðûâíûì óìíîæåíèåì. Âñå àëãåáðû ïðåäïîëàãàþòñÿ óíèòàëüíûìè.
\(A\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëü \(P\) (ëåâûé, ïðàâûé èëè áèìîäóëü) íàçûâàåòñÿ ïðîåêòèâíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî ýïèìîðôèçìà \(A\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëåé (ò.å. îáëàäàþùåãî ïðàâûì îáðàòíûì íåïðåðûâíûì ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì) ñóùåñòâóåò ïðàâûé îáðàòíûé ìîðôèçì \(A\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëåé. ×àñòíûì ñëó÷àåì ïðîåêòèâíîãî ëåâîãî ìîäóëÿ ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûé, ò.å. èçîìîðôíûé ìîäóëþ âèäà \(A\mathbin{\widehat{\otimes}}E\) äëÿ íåêîòîðîãî ïîëíîãî ëîêàëüíî âûïóêëîãî ïðîñòðàíñòâà \(E\).
Åñëè \(M\) è \(N\) — ïðàâûé è ñîîòâåòñòâåííî ëåâûé \(A\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëè, òî èõ \(A\)-ìîäóëüíîå òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå \(M\mathop{\widehat\otimes}_{A}N\) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîïîëíåíèå ôàêòîðïðîñòðàíñòâà \(M\mathbin{\widehat{\otimes}}N\) ïî çàìûêàíèþ ëèíåéíîé îáîëî÷êè âñåõ ýëåìåíòîâ âèäà \[x\cdot a\otimes y-x\otimes a\cdot y\qquad (x\in M,\,y\in N,\,a\in A).\] Öåïíîé êîìïëåêñ \[\cdots\leftarrow M_n \leftarrow M_{n+1} \leftarrow \cdots\] \(A\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëåé íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì, åñëè îí ñòÿãèâàåì â êàòåãîðèè òîïîëîãè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, ò.å. åñëè ñóùåñòâóåò ñòÿãèâàþùàÿ ãîìîòîïèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç íåïðåðûâíûõ ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé.
Ïóñòü \(R\) — \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà. Íàïîìíèì, ÷òî \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé íàçûâàåòñÿ ïàðà \((A,\eta_A)\), ãäå \(A\) — \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà, à \(\eta_A \!: R \to A\) — ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð. Çàìåòèì, ÷òî êàæäûé \(A\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëü àâòîìàòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëåì ÷åðåç ôóíêòîð îãðàíè÷åíèÿ ñêàëÿðîâ ïî \(\eta_A\). Îáîçíà÷èì ÷åðåç \((A,R)-\!\mathop{\mathsf{mod}}\) êàòåãîðèþ ëåâûõ \(A\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëåé, ñíàáæ¸ííóþ ñòðóêòóðîé òî÷íîé êàòåãîðèè îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñîâ, ðàñùåïèìûõ íåïðåðûâíûìè ìîðôèçìàìè \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëåé; ñð. [43].  ÷àñòíîñòè, êîãäà \(R = \mathbb{C}\), ìû ïîëó÷àåì ñòàíäàðòíîå îïðåäåëåíèå äîïóñòèìîé (èëè \(\mathbb{C}\)-ðàñùåïëÿåìîé) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè \(A\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëåé, èñïîëüçóåìîå â [42]. Ðàññìàòðèâàÿ \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-áèìîäóëè íàä \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé \(A\) (ñëåâà) è \(S\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé \(B\) (ñïðàâà), ìû îáîçíà÷àåì ñîîòâåòñòâóþùóþ êàòåãîðèþ ÷åðåç \((A,R)-\!\mathop{\mathsf{mod}}\!-(B,S)\).  ñëó÷àå, êîãäà \(R=S=\mathbb{C}\), ìû ïèøåì ïðîñòî \(A-\!\mathop{\mathsf{mod}}\!-B\). Äëÿ êàòåãîðèé ëåâûõ è ïðàâûõ ìîäóëåé èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ \(A-\!\mathop{\mathsf{mod}}\) è \(\mathop{\mathsf{mod}}\!-B\) ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðîåêòèâíîé (ñâîáîäíîé) ðåçîëüâåíòîé \(M\in A-\!\mathop{\mathsf{mod}}\) íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûé êîìïëåêñ \(0\leftarrow M \xleftarrow{\varepsilon} P_\bullet\), òàêîé, ÷òî âñå ìîäóëè \(P_n\) (\(n\ge 0\)) ïðîåêòèâíû (ñâîáîäíû). Î÷åâèäíî, âñÿêàÿ ñâîáîäíàÿ ðåçîëüâåíòà ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòèâíîé. Êîãäà ìû ãîâîðèì î ïðîåêòèâíîé ðåçîëüâåíòå â \((A,R)-\!\mathop{\mathsf{mod}}\!-(B,S)\), ìû èìååì â âèäó êîìïëåêñ, ñîñòîÿùèé èç îáúåêòîâ, ïðîåêòèâíûõ â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷íîé êàòåãîðèè è ðàñùåïëÿþùèõñÿ â \(R-\!\mathop{\mathsf{mod}}\!-S\).
Ïóñòü \(\varphi\!:A\to B\) — ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð. Îí íàçûâàåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì (âîîáùå ãîâîðÿ “ñèëüíûì”, åñëè íóæíî îòëè÷àòü îò “ñëàáûõ”, ñì. [9]), åñëè äëÿ íåêîòîðîé (èëè, ýêâèâàëåíòíî, äëÿ êàæäîé) ïðîåêòèâíîé ðåçîëüâåíòû \(0 \leftarrow B \leftarrow P_\bullet\) â êàòåãîðèè ëåâûõ \(A\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü \[0 \longleftarrow B \longleftarrow B\mathop{\widehat\otimes}_{A} P_\bullet\] äîïóñòèìà. (Ýòî ïîíÿòèå ìîæåò âûñòóïàòü ïîä ðàçíûìè èìåíàìè, ñì. [9].)
 äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 29 íàì ïîíàäîáÿòñÿ òàêæå áîëåå îáùèå ïîíÿòèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî \(R\)-\(S\)-ãîìîìîðôèçì èç \(R\)-\(\mathop{\widehat\otimes}\)-àëãåáðû â \(S\)-\(\mathop{\widehat\otimes}\)-àëãåáðó îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïàðà \((f,g)\), ãäå \(f\!: A \to B\) è \(g\!: R \to S\) ÿâëÿþòñÿ ãîìîìîðôèçìàìè \(\mathop{\widehat\otimes}\)-àëãåáð, òàêèìè ÷òî \(g\eta_A=\eta_Bf\). Äàëåå, \(R\)-\(S\)-ãîìîìîðôèçì \(f\!: A \to B\) èç \(R\)-àëãåáðû \(A\) â \(S\)-àëãåáðó \(B\) íàçûâàåòñÿ äâóñòîðîííèì îòíîñèòåëüíûì ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì, åñëè \(f\) ÿâëÿåòñÿ ýïèìîðôèçìîì \(\mathop{\widehat\otimes}\)-àëãåáð è ïðè ýòîì ìîäóëü \(A\) ÿâëÿåòñÿ àöèêëè÷åñêèì îòíîñèòåëüíî ôóíêòîðà \[B\mathop{\widehat\otimes}_{A}(-)\mathop{\widehat\otimes}_{A}B\!: (A,R){-\!\mathop{\mathsf{mod}}\!-}(A,R)\to (B,S){-\!\mathop{\mathsf{mod}}\!-}(B,S),\] ò.å., ýòîò ôóíêòîð îòîáðàæàåò íåêîòîðóþ (ýêâèâàëåíòíî, êàæäóþ) ïðîåêòèâíóþ ðåçîëüâåíòó ìîäóëÿ \(A\) â êàòåãîðèè \((A,R){-\!\mathop{\mathsf{mod}}\!-}(A,R)\) â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ðàñùåïèìóþ â \(S{-\!\mathop{\mathsf{mod}}\!-} S\) [43]. Ìû îïóñêàåì îïðåäåëåíèÿ ëåâûõ è ïðàâûõ îòíîñèòåëüíûõ ãîìîëîãè÷åñêèõ ýïèìîðôèçìîâ; ïîäðîáíîñòè ñì. â [43] ñ èñïðàâëåíèÿìè â [44], [45]. Åäèíñòâåííîå, ÷òî ìû èñïîëüçóåì, — ýòî ôàêò, ÷òî äâóñòîðîííèé îòíîñèòåëüíûé ãîìîëîãè÷åñêèé ýïèìîðôèçì òàêæå ÿâëÿåòñÿ ëåâûì è ïðàâûì [43].
Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî äëÿ \(M\in \mathop{\mathsf{mod}}\!-A\), \(N\in A-\!\mathop{\mathsf{mod}}\) è \(n\in\mathbb{Z}_+\) ïðîèçâîäíûé ôóíêòîð \({\mathop{\mathrm{Tor}}\nolimits}_n^{A}(M,N)\) (â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå) ìîæåò áûòü îïðåäåëåí êàê ãîìîëîãèÿ êîìïëåêñà \(M\mathop{\widehat\otimes}_{A} P_\bullet\), ãäå \(P_\bullet\) — ïðîèçâîëüíàÿ ïðîåêòèâíàÿ ðåçîëüâåíòà \(N\), ñì. [42] èëè [28].
Äëÿ \(s\ge 0\) ïîëîæèì \[\label{faAsdef} \mathfrak{A}_s\!:=\Bigl\{a=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\! : \|a\|_{r,s}\!:=\sum_{n=0}^\infty |a_n|\frac{r^n}{n!^s}<\infty \;\forall r>0\Bigr\},\tag{5}\] ãäå \(x\) — ôîðìàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ. Äëÿ íàñ âàæíî, ÷òî \(\mathfrak{A}_s\) ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé Ôðåøå-Àðåíñà–Ìàéêëà [46] è, áîëåå òîãî, \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé Õîïôà [38] (îïåðàöèè ïðîäîëæàþòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè ñ àëãåáðû ìíîãî÷ëåíîâ \(\mathbb{C}[x]\)). Îáîçíà÷èì òàêæå ÷åðåç \(\mathfrak{A}_\infty\) àëãåáðó \(\mathbb{C}[[z]]\) âñåõ ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ.
Ñâÿçü ñ àëãåáðàìè âèäà \({\mathscr A}_{\omega^\infty}(\mathbb{C})\) îòðàæåíà â ñëåäóþùåé ëåììå.
Ëåììà 7. [3] (A)* Åñëè \(\omega(z)=1+|z|\), òî \({\mathscr A}_{\omega^\infty}(\mathbb{C})\) òîïîëîãè÷åñêè èçîìîðôíà \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðå Õîïôà \(\mathbb{C}[[x]]\) âñåõ ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ îò \(x\).*
**(B)* Åñëè \(s\in [1,\infty)\) è \(\omega(z)=\exp(|z|^{1/s})\), òî \({\mathscr A}_{\omega^\infty}(\mathbb{C})\) òîïîëîãè÷åñêè èçîìîðôíà \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðå Õîïôà \(\mathfrak{A}_{s-1}\).*
Êðîìå òîãî, ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå ñóùåñòâåííî èñïîëüçóåòñÿ â äàëüíåéøåì.
Ïðåäëîæåíèå 8. [2] Ïóñòü \(s\in[0, +\infty]\). Òîãäà âëîæåíèå \(\mathbb{C}[x]\to \mathfrak{A}_s\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèìîì.
Çäåñü ìû êîðîòêî íàïîìíèì íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ îá àíàëèòè÷åñêèõ ñìýø-ïðîèçâåäåíèÿõ, âïåðâûå ðàññìîòðåííûõ â [31]. Ïóñòü \(H\) — \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà Õîïôà è ïóñòü \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà \(A\) ñíàáæåíà ñòðóêòóðîé ëåâîãî \(H\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëÿ. Òîãäà \(A\mathbin{\widehat{\otimes}}A\) è \(\mathbb{C}\) ÿâëÿþòñÿ ëåâûìè \(H\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëÿìè îòíîñèòåëüíî âíåøíèõ óìíîæåíèé, èíäóöèðîâàííûõ êîóìíîæåíèåì è êîåäèíèöåé. Òîãäà \(A\) íàçûâàåòñÿ (ëåâîé) \(H\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëüíîé àëãåáðîé, åñëè îíà ñíàáæåíà ñòðóêòóðîé ëåâîãî \(H\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî ìîðôèçì óìíîæåíèÿ è ìîðôèçì åäèíèöû \(\mathbb{C}\to A\) ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè ëåâûõ \(H\)-ìîäóëåé. Äëÿ âñÿêîãî ãîìîìîðôèçìà \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð \(H\to B\) çàäàíî ïðèñîåäèí¸ííîå äåéñòâèå \(H\) íà \(B\) (ñëåâà), èíäóöèðîâàííîå êîóìíîæåíèåì è àíòèïîäîì.
Îïðåäåëåíèå 9. Ïóñòü \(H\) — \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà Õîïôà è \(A\) — \(H\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëüíàÿ àëãåáðà. Àíàëèòè÷åñêèì ñìýø-ïðîèçâåäåíèåì \(A\mathbin{\widehat{\#}}H\) íàçûâàåòñÿ \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà, ñíàáæ¸ííàÿ ãîìîìîðôèçìàìè \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð \(i\!:A\to A\mathbin{\widehat{\#}}H\) è \(j\!: H\to A\mathbin{\widehat{\#}}H\), òàêèìè ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà.
(A) \(i\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì \(H\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëüíûõ àëãåáð (îòíîñèòåëüíî ïðèñîåäèí¸íîãî äåéñòâèÿ, ïîðîæä¸ííîãî \(j\)).
(B) Äëÿ ëþáûõ \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðû \(B\), ãîìîìîðôèçìà \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð \(\psi\!: H\to B\) è ãîìîìîðôèçìà \(H\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëüíûõ àëãåáð \(\varphi\!: A\to B\) (îòíîñèòåëüíî ïðèñîåäèí¸íîãî äåéñòâèÿ, ïîðîæä¸ííîãî \(\psi\)) íàéä¸òñÿ åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð \(\theta\), òàêîé ÷òî äèàãðàììà \[\xymatrix{ & A\mathbin{\widehat{\#}}H \ar@{-->}[dd]^{\theta}& \\ A \ar[ur]^i \ar[dr]_\varphi&&H\ar[ul]_j\ar[dl]^\psi\\ & B &}\] êîììóòàòèâíà.
Ïîäðîáíîñòè ñì. â [3].
 ýòîì ïàðàãðàôå ñîäåðæàòñÿ ôîðìóëèðîâêè òåîðåì î ãîìîëîãè÷åñêèõ ýïèìîðôèçìàõ. Èõ äîêàçàòåëüñòâà äàíû â §§ 4–6.
Ñíà÷àëà ñôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèÿ îá àëãåáðå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ è ïîêàæåì, ÷òî îíè ñëåäóþò èç áîëåå îáùåé òåîðåìû, êîòîðóþ, êàê ìû óâèäèì, ìîæíî ñâåñòè ê ñëó÷àþ ëèíåéíûõ ãðóïï, à çàòåì ê ñëó÷àþ îäíîñâÿçíûõ ðàçðåøèìûõ.
Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 10. Ïóñòü \(G\) — ñâÿçíàÿ êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè. Òîãäà \[{\mathscr A}(G)\to\widehat{\mathscr A}(G)\quad\text{è}\quad{\mathscr A}(G)\to \widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\] ÿâëÿþòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèìè ýïèìîðôèçìàìè.
Ýòà òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì áîëåå îáùåé. Íàïîìíèì, ÷òî ëèíåaðèçàòîðîì êîìïëåêñíîé ãðóïïû Ëè íàçûâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèå ÿäåð âñåõ å¸ êîíå÷íîìåðíûõ ãîëîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé. Âñå îñòàëüíûå ïîíÿòèÿ, ôèãóðèðóþùèå â ñëåäóþùåé òåîðåìå î ìàêñèìàëüíîì âåñå, îïèñàíû â § 2.
Òåîðåìà 11. Ïóñòü \(G\) — ñâÿçíàÿ êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè, \(\Lambda\) — å¸ ëèíåàðèçàòîð, à \(E\) è \(N\) — ýêñïîíåíöèàëüíûé è íèëüïîòåíòíûé ðàäèêàëû \(G/\Lambda\). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî \(N'\) — íîðìàëüíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ïîäãðóïïà \(G/\Lambda\) òàêàÿ, ÷òî \(E\subset N'\subset N\), à \(\omega_{max}\) — ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûé âåñ íà \(G/\Lambda\), ìàêñèìàëüíûé ñðåäè âåñîâ ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì èñêðèâëåíèåì íà \(N'\). Òîãäà \({\mathscr A}(G)\to {\mathscr A}_{\omega_{max}^\infty}(G/\Lambda)\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì.
Ïðåäïîëàãàÿ òåîðåìó 11 äîêàçàííîé, ìû ïîëó÷àåì òåîðåìó 10 ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 10. Ñ îäíîé ñòîðîíû, òàê êàê \(G\) ñâÿçíà, òî èíäóöèðîâàííûå ôàêòîðîòîáðàæåíèåì \(G\to G/\Lambda\) ãîìîìîðôèçìû \[{\widehat{\mathscr A}}(G)\to {\widehat{\mathscr A}}(G/\Lambda)\quad\text{è}\quad {\widehat{\mathscr A}}(G)^{\mathrm{PI}}\to {\widehat{\mathscr A}}(G/\Lambda)^{\mathrm{PI}}\] ÿâëÿþòñÿ òîïîëîãè÷åñêèìè èçîìîðôèçìàìè [3]. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ãðóïïà \(G/\Lambda\) íå òîëüêî ñâÿçíà, íî è ëèíåéíà, ïîýòîìó èç [3] ïîëó÷àåì â ñëó÷àå, åñëè \(N'=E\), ÷òî \({\mathscr A}_{\omega_{max}^\infty}(G/\Lambda)\cong \widehat{\mathscr A}(G/\Lambda)\), à â ñëó÷àå, åñëè \(N'=N\), ÷òî \({\mathscr A}_{\omega_{max}^\infty}(G/\Lambda)\cong \widehat{\mathscr A}(G/\Lambda)^{\mathrm{PI}}\). Òàêèì îáðàçîì, èç òåîðåìû 11 ñëåäóåò, ÷òî \({\mathscr A}(G)\to\widehat{\mathscr A}(G)\) è \({\mathscr A}(G)\to \widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\) ÿâëÿþòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèìè ýïèìîðôèçìàìè. ◻
Ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 11, êîòîðîå áóäåò íàøåé îñíîâíîé öåëüþ â äàëüíåéøåì, ñì. â § 5. Çäåñü æå îòìåòèì, ÷òî îíî ñîñòîèò èç òð¸õ øàãîâ:
ðåäóêöèÿ ê ñëó÷àþ ãðóïïû Øòåéíà,
ðåäóêöèÿ ê ñëó÷àþ ëèíåéíîé ãðóïïû,
äîêàçàòåëüñòâî â ñëó÷àå ëèíåéíîé ãðóïïû.
 ñëó÷àå ëèíåéíîé ãðóïïû òåîðåìà 11 ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì äðóãîãî îáùåãî ðåçóëüòàòà — òåîðåìû î âåñå, äîïóñêàþùåì ðàçëîæåíèå, ñîãëàñîâàííîå ñ èòåðèðîâàííûì ïîëóïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì.
Îïðåäåëåíèå 12. Ïóñòü \(\omega\) — ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûé âåñ íà êîìïëåêñíîé ãðóïïå Ëè \(G\), òàêîé ÷òî \(\omega\ge 1\). Áóäåì íàçûâàòü \(\omega\) ëîêàëèçóþùèì, åñëè ýïèìîðôèçì \({\mathscr A}(G)\to{\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì.
Î âåñàõ, íå ÿâëÿþùèõñÿ ëîêàëèçóþùèìè, ñì. íèæå ïðèìåð 43.
Òåîðåìà 13. Ïóñòü \(G\) — êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè è \(\omega\) — àñèìïòîòè÷åñêè ñèììåòðè÷íûé ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûé âåñ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî \(G\) ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â èòåðèðîâàííîå ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå: \[\label{itdirp0} G=(\cdots (F_1 \rtimes F_2)\rtimes\cdots) \rtimes F_n,\qquad{(1)}\] ãäå \(F_1\cong\cdots\cong F_{n-1}\cong\mathbb{C}\), à \(F_n\) ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíà. Ïóñòü \(G_1\!:=F_1\) è \(G_i\!:=G_{i-1}\rtimes F_i\) ïðè \(i\le 2\), à \(\widetilde{\omega}_i\) è \(\omega_i\) — îãðàíè÷åíèÿ \(\omega\) íà \(G_i\) è \(F_i\) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî èìååò ìåñòî èòåðèðîâàííîå ðàçëîæåíèå \(\omega\) â ñëåäóþùåì ñìûñëå: \(\widetilde{\omega}_1 \simeq \omega_1\) è äëÿ âñåõ \(i=1,\ldots,n-1\) \[\label{weidec} \widetilde{\omega}_{i+1}(gf)\simeq \widetilde{\omega}_i(g)\omega_{i+1}(f)\quad\text{íà G_i\times F_{i+1}} \quad(\text{g\in G_i, f\in F_{i+1}}),\qquad{(2)}\] è \(\omega_n\) — ìàêñèìàëüíûé ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûé âåñ íà \(F_n\). Òîãäà åñëè âñå âåñà \(\omega_1,\ldots,\omega_n\) — ëîêàëèçóþùèå, òî \(\omega\) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëèçóþùèì.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 13 ñîñòîèò èç äâóõ øàãîâ:
ðåäóêöèÿ ê ñëó÷àþ îäíîñâÿçíîé ðàçðåøèìîé ãðóïïû (ò.å. êîãäà \(F_n\) òðèâèàëüíà),
äîêàçàòåëüñòâî â ñëó÷àå îäíîñâÿçíîé ðàçðåøèìîé ãðóïïû.
Ïîäðîáíîñòè ñì. â § 4.
Êðîìå òîãî, â ýòîé ñòàòüå ïîïóòíî äîêàçàí àíàëîã ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ îá óíèâåðñàëüíûõ îáåðòûâàþùèõ àëãåáðàõ.
Òåîðåìà 14. [2], [31] Ïóñòü \(\mathfrak{g}\) — êîíå÷íîìåðíàÿ êîìïëåêñíàÿ àëãåáðà Ëè. Îáîëî÷êà Àðåíñà–Ìàéêëà \(U(\mathfrak{g})\to \widehat U(\mathfrak{g})\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà \(\mathfrak{g}\) ðàçðåøèìà.
Íåîáõîäèìîñòü äîêàçàíà Ïèðêîâñêèì â [31], à äîñòàòî÷íîñòü àâòîðîì â [2]. Îòìåòèì, ÷òî â [39] äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà \(\mathfrak{g}\) íèëüïîòåíòíà, áûëî äàíî äîêàçàòåëüñòâî, îñíîâàííîå íà ìåòîäàõ, îòëè÷íûõ îò èñïîëüçîâàííûõ â [2]. Çäåñü ìû äîêàæåì àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ îáîëî÷êè â êëàññå áàíàõîâûõ PI-àëãåáð.
Òåîðåìà 15. Ïóñòü \(\mathfrak{g}\) — êîíå÷íîìåðíàÿ êîìïëåêñíàÿ àëãåáðà Ëè. Îáîëî÷êà â êëàññå áàíàõîâûõ PI-àëãåáð \(U(\mathfrak{g})\to \widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà \(\mathfrak{g}\) ðàçðåøèìà.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ñì. â § 6.
 ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû 13 (î âåñå, äîïóñêàþùåì ðàçëîæåíèå, ñîãëàñîâàííîå ñ èòåðèðîâàííûì ïîëóïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì) ïîñëåäíÿÿ ïîäãðóïïà \(F_n\), ó÷àñòâóþùàÿ â ïðîèçâåäåíèè, ïðåäïîëàãàåòñÿ ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíîé. Ìû óâèäèì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ àëãåáðà \({\mathscr A}(F_n)\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíîé. Ïåðâûé øàã äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû — ðåäóêöèÿ ê ñëó÷àþ îäíîñâÿçíîé ðàçðåøèìîé ãðóïïû — îïèðàåòñÿ íà ðåçóëüòàòû î ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíûõ àëãåáðàõ. Ìû îáñóäèì èõ ñíà÷àëà â àáñîëþòíîì, à çàòåì â îòíîñèòåëüíîì âàðèàíòàõ.
Íàïîìíèì, ÷òî êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè \(G\) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíîé, åñëè ñóùåñòâóåò êîìïàêòíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ãðóïïà Ëè, òàêàÿ ÷òî \(G\) ÿâëÿåòñÿ å¸ óíèâåðñàëüíîé êîìïëåêñèôèêàöèåé [47]. (Ñâÿçíîñòü çäåñü íå òðåáóåòñÿ, íî î÷åâèäíî, ÷òî \(G\) èìååò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò.)
Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî óíèòàëüíàÿ \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà \(A\) íàçûâàåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíîé (èëè ñòÿãèâàåìîé), åñëè \(A\) ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòèâíûì \(A\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-áèìîäóëåì [42].
Îòìåòèì, ÷òî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì òàêîãî ðåçóëüòàòà Òåéëîðà: åñëè \(K\) — êîìïàêòíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ãðóïïà Ëè, òî àëãåáðà ðàñïðåäåëåíèé \({\mathscr E}'(K)\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà [8]. Óêàçàííàÿ òåîðåìà Òåéëîðà òàêæå ÿâëÿåòñÿ âàæíîé ÷àñòüþ íàøåãî äîêàçàòåëüñòâà.
Òåîðåìà 16. Ïóñòü \(G\) — ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíàÿ ãðóïïà Ëè. Òîãäà \({\mathscr A}(G)\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà.
Íàì ïîíàäîáèòñÿ íåñêîëüêî ëåìì.
Ëåììà 17. Ïóñòü \(\sigma\!:A\to B\) — ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð ñ ïëîòíûì îáðàçîì. Åñëè \(A\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà, òî òàêîâà æå è \(B\).
Proof.  ñèëó [42] \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà \(A\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà òîãäà è òîëüêî òîãäà \(A\mathbin{\widehat{\otimes}}A\) ñîäåðæèò äèàãîíàëü, ò.å. ýëåìåíò \(d\), äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ:
(1) \(a\cdot d = d\cdot a\) êàæäîãî \(a\in A\);
(2) óìíîæåíèå \(A\mathbin{\widehat{\otimes}}A \to A\) îòîáðàæàåò \(d\) â åäèíèöó \(A\).
Åñëè \(d\) — äèàãîíàëü â \(A\mathbin{\widehat{\otimes}}A\), òî èç òîãî,÷òî îáðàç \(\sigma\) ïëîòåí, ïîëó÷àåì, ÷òî \((\sigma\otimes\sigma)(d)\) ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüþ â \(B\mathbin{\widehat{\otimes}}B\). ◻
Íèæå ìû îáîçíà÷àåì ÷åðåç \(C^\infty(G)\) ëîêàëüíî âûïóêëîå ïðîñòðàíñòâî êîìïëåêñíîçíà÷íûõ áåñêîíå÷íîäèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà äåéñòâèòåëüíîé ãðóïïå Ëè \(G\), à ÷åðåç \({\mathscr E}'(G)\) — ïðîñòðàíñòâî ðàñïðåäåëåíèé ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì íà \(G\), ò.å. ñèëüíîå äâîéñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî ê \(C^\infty(G)\). Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî \({\mathscr E}'(G)\) ÿâëÿåòñÿ \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé îòíîñèòåëüíî ñâ¸ðòêè. (Îíî äàæå ÿâëÿåòñÿ \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé Õîïôà, íî íàì ýòî çäåñü íå íóæíî.) Ìû îòîæäåñòâëÿåì \({\mathscr E}'(G)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr E}'(G)\) ñ ñèëüíûì äâîéñòâåííûì ïðîñòðàíñòâîì ê \(C^\infty(G\times G)\).
Ëåììà 18. Ïóñòü \(K\) — êîìïàêòíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ãðóïïà Ëè. Òîãäà ôóíêöèîíàë \[d\!:C^\infty(K\times K)\to \mathbb{C}\!:f\mapsto \int_K f(k,k^{-1})\,dk\] ãäå èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî íîðìèðîâàííîé ìåðå Õààðà, ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüþ â \({\mathscr E}'(K)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr E}'(K)\).
Äîêàçàòåëüñòâî ïðèíàäëåæèò Äæ. Òåéëîðó (ñì. [8]) è ìû îïóñêàåì åãî.
Ñëåäóþùàÿ ëåììà äîêàçàíà Ëèòâèíîâûì.
Ëåììà 19. [48] Ïóñòü \(G\) — êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè, îáëàäàþùàÿ äåéñòâèòåëüíîé ôîðìîé \(G_\mathbb{R}\). Òîãäà ãîìîìîðôèçì ãðóïï \(G_\mathbb{R}\to G\) ïîðîæäàåò ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð \[\sigma\!:{\mathscr E}'(G_\mathbb{R})\to {\mathscr A}(G)\!:\langle \sigma(\alpha), f \rangle = \langle \alpha, f|_{G_\mathbb{R}}\rangle \qquad (\alpha \in {\mathscr E}'(G_\mathbb{R}),\, f\in \mathcal{O}(G)).\] Áîëåå òîãî, ýòîò ãîìîìîðôèçì èìååò ïëîòíûé îáðàç.
Çàìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ïëîòíîñòü îáðàçà ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç óñëîâèé Êîøè–Ðèìàíà.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 16. Ïóñòü \(K\) — êîìïàêòíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ãðóïïà Ëè, òàêàÿ ÷òî \(G\) ÿâëÿåòñÿ å¸ óíèâåðñàëüíîé êîìïëåêñèôèêàöèåé.  ñèëó êîìïàêòíîñòè \(K\) àëãåáðà \({\mathscr E}'(K)\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà [8], ñð. ñ ëåììîé 18. Ïîñêîëüêó \(K\) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé ôîðìîé \(G\), óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ëåìì 17 è 19. ◻
Çàìå÷àíèå 20.  ñëó÷àå, êîãäà ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíàÿ ãðóïïà Ëè \(G\) ñâÿçíà, òåîðåìà 16 ìîæåò áûòü äîêàçàíà ñ èñïîëüçîâàíèåì äðóãîé ÿâíîé êîíñòðóêöèè äèàãîíàëè â \({\mathscr A}(G)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr A}(G)\), îòëè÷íîé îò îïèñàííîé â ëåììå 18. (Íå èñêëþ÷åíî, ÷òî ýòî âîçìîæíî è â îáùåì ñëó÷àå.)
 ñàìîì äåëå, ïóñòü \(K\) — êîìïàêòíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ãðóïïà Ëè, òàêàÿ ÷òî \(G\) ÿâëÿåòñÿ å¸ óíèâåðñàëüíîé êîìïëåêñèôèêàöèåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç \(\Sigma\) ìíîæåñòâî äîìèíàíòíûõ àíàëèòè÷åñêè èíòåãðàëüíûõ âåñîâ (ìû ñëåäóåì òåðìèíîëîãèè èç [49]). Òîãäà â ñèëó òåîðåìû î ñòàðøèõ âåñàõ ìíîæåñòâî íåïðèâîäèìûõ óíèòàðíûõ ïðåäñòàâëåíèé \(K\) íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ \(\Sigma\). Òåì ñàìûì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì èçîìîðôèçìîì ìåæäó \(\mathcal{O}(G)\) è ïðîñòðàíñòâîì \[{\mathscr A}_{exp}(\Sigma)\!:= \Bigl\{ s=(s_\sigma;\,\sigma\in \Sigma)\!:\;\forall r>0\; \|s\|_r\!:=e^{r\|\sigma\|} \|s_\sigma\|_{HS}<\infty \Bigr\},\] ãäå \(s_\sigma\) — îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåäñòàâëåíèÿ, \(\|\cdot\|_{HS}\) — íîðìà Ãèëüáåðòà-Øìèäòà, à \(\|\cdot\|\) — êàêàÿ-íèáóäü íîðìà íà ïðîñòðàíñòâå ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ íà àëãåáðå Ëè, ñì. [49]. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷àåì èçîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð ìåæäó \({\mathscr A}(G)\) è \[\mathcal{O}_{exp}(\Sigma)\!:= \Bigl\{ t=(t_\sigma;\sigma\in \Sigma)\!:\;\exists C,\,r>0\; \|t_\sigma\|_{HS}<C\,e^{r\|\sigma\|} \Bigr\}\] (çäåñü \(\mathcal{O}_{exp}(\Sigma)\) åñòü \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðíîãî óìíîæåíèÿ â êàæäîì ñëàãàåìîì è òîïîëîãèè èíäóêòèâíîãî ïðåäåëà). Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (èíäåêñèðîâàííûõ \(\Sigma\times\Sigma\)) îïåðàòîðîâ, ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèå \[\sum_{ij}\frac{1}{\dim \sigma}\,e^\sigma_{ij}\otimes e^\sigma_{ji}\] â \((\sigma,\sigma)\) è \(0\) äëÿ îñòàëüíûõ èíäåêñîâ (çäåñü \(e^\sigma_{ij}\) — ìàòðè÷íàÿ åäèíèöà â ïðîñòðàíñòâå ïðåäñòàâëåíèÿ \(\sigma\)). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìû ïîëó÷èëè äèàãîíàëü â \(\mathcal{O}_{exp}(\Sigma)\mathbin{\widehat{\otimes}}\mathcal{O}_{exp}(\Sigma)\).
Ëåììà 21. Ïóñòü \(\varphi\!:A\to B\) — ýïèìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð. Åñëè \(A\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà, òî \(\varphi\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì.
Proof. Òàê êàê \(A\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà, âñå ìîäóëè èç \(A-\!\mathop{\mathsf{mod}}\) ïðîåêòèâíû, â òîì ÷èñëå \(B\). Òåì ñàìûì \(0 \longleftarrow B \longleftarrow B \longleftarrow 0\) ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòèâíîé ðåçîëüâåíòîé â \(A-\!\mathop{\mathsf{mod}}\). Ïðèìåíÿÿ ôóíêòîð \(B\mathop{\widehat\otimes}_{A}(-)\) ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü \[0 \longleftarrow B\mathop{\widehat\otimes}_{A} B \longleftarrow B\mathop{\widehat\otimes}_{A} B \longleftarrow 0,\] êîòîðàÿ î÷åâèäíî äîïóñòèìà. Òàêèì îáðàçîì, \(\varphi\) — ãîìîëîãè÷åñêèé. ◻
Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò ïîíàäîáèòñÿ â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 13. Êðîìå òîãî, åñëè \(\omega\) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ìàêñèìàëüíîñòè, óêàçàííîìó â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû 11, ñ \(N' = E\) èëè \(N' = N\), ìû ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû 10 äëÿ ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíîé ãðóïïû.
Ïðåäëîæåíèå 22. Ïóñòü \(\omega\) — ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûé âåñ íà ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíîé ãðóïïå Ëè \(G\), òàêîé ÷òî \(\omega\ge 1\). Òîãäà \(\omega\) ÿâëÿåòñÿ ëîêàëèçóþùèì.
Proof.  ñèëó òåîðåìû 16 \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà \({\mathscr A}(G)\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà. Îñòà¸òñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ëåììîé 21. ◻
Òåîðåìû 16 íåäîñòàòî÷íî äëÿ äîñòèæåíèÿ íàøåé áëèæàéøåé öåëè — ðåäóêöèè ê ñëó÷àþ îäíîñâÿçíîé ðàçðåøèìîé ãðóïïû. ×òîáû ïîëó÷èòü å¸ îáîáùåíèå — òåîðåìó 25, ìû èñïîëüçóåì îòíîñèòåëüíóþ ãîìîëîãè÷åñêóþ òåîðèþ.
Îïðåäåëåíèå 23. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óíèòàëüíàÿ \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà \(A\) îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà, åñëè \(A\) ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòèâíûì ìîäóëåì â îòíîñèòåëüíîé êàòåãîðèè \((A,R)-\!\mathop{\mathsf{mod}}\!-(A,R)\).
Ëåììà 24. \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà \(A\) îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà \(A\mathop{\widehat\otimes}_{R} A\) ñîäåðæèò îòíîñèòåëüíóþ äèàãîíàëü, ò.å. ýëåìåíò \(d\), äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ:
**(1) \(a\cdot d = d\cdot a\) êàæäîãî \(a\in A\);
**(2) óìíîæåíèå \(A\mathop{\widehat\otimes}_{R}A \to A\) îòîáðàæàåò \(d\) â åäèíèöó \(A\).
Äîêàçàòåëüñòâî â òî÷íîñòè òî æå, ÷òî è äëÿ ñëó÷àÿ \(R=\mathbb{C}\), ñì. [42].
Òåîðåìà 25. Ïóñòü êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè èìååò âèä \(G=N\rtimes L\), ãäå \(L\) ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíà. Òîãäà \({\mathscr A}(N)\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà \({\mathscr A}(G)\) îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîòðåáóþòñÿ âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ.
Ëåììà 26. Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ìíîæåñòâà äåëüòà-ôóíêöèé íà êîìïëåêñíîì ìíîãîîáðàçèè ïëîòíà â ïðîñòðàíñòâå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ.
Proof. B ñèëó òåîðåìû Õàíà-Áàíàõà äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ, ÷òî âñÿêèé íåïðåðûâíûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ, çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ðàâíû \(0\) íà âñåõ äåëüòà-ôóíêöèÿõ, òîæäåñòâåííî ðàâåí \(0\). Ïîñëåäíåå âûïîëíåíî, ïîñêîëüêó íåïðåðûâíûé ëèíåéíûé ôóíêöèoíàë îïðåäåëÿåòñÿ ãîëîìîðôíîé ôóíêöèåé íà ìíîãîîáðàçèè ââèäó ðåôëåêñèâíîñòè ïðîñòðàíñòâà ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé. ◻
Ðàññìîòðèì áîëåå îáùóþ ñèòóàöèþ. Ïóñòü \(N\) — çàìêíóòàÿ êîìïëåêñíàÿ ïîäãðóïïà â êîìïëåêñíîé ãðóïïå Ëè \(G\). Îáîçíà÷èì ïîäïðîñòðàíñòâî â \(\mathcal{O}(G\times G)\), ñîñòîÿùåå èç ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ \[\label{balfun} f(g_1n,g_2)=f(g_1,ng_2)\qquad (n\in N,\,g_1,g_2\in G),\tag{6}\] ÷åðåç \(\mathcal{O}_{bal}(G\times G)\). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îíî çàìêíóòî â \(\mathcal{O}(G\times G)\).
Çàìåòèì, ÷òî \(\mathcal{O}(G\times G)\) ÿâëÿåòñÿ \({\mathscr A}(G)\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-áèìîäóëåì îòíîñèòåëüíî äåéñòâèé \[\alpha\bullet f = f \ast \widetilde{\alpha} \quad\text{è} \quad f \bullet \alpha = \widetilde{\alpha} \ast f \qquad (\alpha\in {\mathscr A}(G),\,f\in \mathcal{O}(G\times G));\] çäåñü òèëüäà îáîçíà÷àåò ñòàíäàðòíûé àíòèïîä â \({\mathscr A}(G)\). Êðîìå òîãî, ìû ðàññìàòðèâàåì \({\mathscr A}(G\times G)\) êàê \({\mathscr A}(G)\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-áèìîäóëü, îòîæäåñòâëÿÿ åãî ñ \({\mathscr A}(G)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr A}(G)\).
Èñõîäÿ èç ñòàíäàðòíûõ ôîðìóë äëÿ ñâåðòêè ôóíêöèè è äåëüòà-ôóíêöèè (ñì., íàïðèìåð, [29]), ïîëó÷àåì, ÷òî \[\label{degfunc} (f \bullet \delta_{g})(h_1,h_2)=f(gh_1,h_2)\quad\text{è}\quad(\delta_{g}\bullet f)(h_1,h_2)=f(h_1,h_2g)\tag{7}\] äëÿ âñåõ \(g\in G\) è \(f\in\mathcal{O}(G\times G)\). Îòñþäà ñðàçó âèäíî, ÷òî \(\mathcal{O}_{bal}(G\times G)\) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ \(\delta_{g}\) ñëåâà è ñïðàâà. Èç ëåììû 26 î ïëîòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî \(\mathcal{O}_{bal}(G\times G)\) ÿâëÿåòñÿ ïîäìîäóëåì â \({\mathscr A}(G)\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-áèìîäóëe \(\mathcal{O}(G\times G)\). Äàëåå ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî \(\mathcal{O}_{bal}(G\times G)'\) ñíàáæåíî ñòàíäàðòíîé ñòðóêòóðîé äâîéñòâåííîãî ëîêàëüíî âûïóêëîãî \({\mathscr A}(G)\)-áèìîäóëÿ, ò.å. \[\label{degfunc2} \langle \alpha\bullet \eta ,f \rangle = \langle \eta ,f\bullet \alpha \rangle\quad\text{è} \quad \langle\eta \bullet \alpha ,f \rangle = \langle \eta ,\alpha\bullet f \rangle,\tag{8}\] ãäå \(\alpha\in {\mathscr A}(G)\), \(\eta\in \mathcal{O}_{bal}(G\times G)'\) è \(f\in \mathcal{O}_{bal}(G\times G)\).
Ïðåäëîæåíèå 27. Èçîìîðôèçì ëîêàëüíî âûïóêëûõ ïðîñòðàíñòâ \[\upsilon\!:{\mathscr A}(G)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr A}(G)\to \mathcal{O}(G\times G)'\!:\delta_{h_1}\otimes \delta_{h_2}\mapsto (f\mapsto f(h_1,h_2))\] ïîðîæäàåò ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå \[\Upsilon\!:{\mathscr A}(G)\mathop{\widehat\otimes}_{{\mathscr A}(N)} {\mathscr A}(G)\to \mathcal{O}_{bal}(G\times G)',\] êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì èçîìîðôèçìîì \({\mathscr A}(G)\)-áèìîäóëeé.
Proof. Ïî îïðåäåëåíèþ, \({\mathscr A}(G)\mathop{\widehat\otimes}_{{\mathscr A}(N)} {\mathscr A}(G)\) ÿâëÿåòñÿ ïîïîëíåíèåì ôàêòîðïðîñòðàíñòâà \(({\mathscr A}(G)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr A}(G))/F\), ãäå \(F\) — çàìûêàíèå â \({\mathscr A}(G)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr A}(G)\) ëèíåéíîé îáîëî÷êè ýëåìåíòîâ âèäà \[(\alpha\ast\eta)\otimes \beta- \alpha\otimes (\eta\ast\beta) \qquad (\alpha, \beta\in {\mathscr A}(G),\,\eta\in {\mathscr A}(N))\] [42]. Èç 6 ñëåäóåò, ÷òî åñëè \(n\in N\), \(h_1,h_2\in G\), òî äëÿ âñåõ \(f\in\mathcal{O}_{bal}(G\times G)\) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî \[\langle (\delta_{h_1}\ast \delta_n)\otimes \delta_{h_2}, f\rangle=f(h_1n,h_2)=f(h_1,nh_2)= \langle \delta_{h_1} \otimes (\delta_n\ast \delta_{h_2}), f\rangle.\] Òåì ñàìûì \(\upsilon((\delta_{h_1}\ast\delta_n)\otimes \delta_{h_2}- \delta_{h_1}\otimes (\delta_n\ast \delta_{h_2}))\) ñîäåðæèòñÿ â \(\mathcal{O}_{bal}(G\times G)^\perp\), ãäå \(\perp\) îáîçíà÷àåò àííóëÿòîð. Òîãäà èç ëåììû 26 î ïëîòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî \[\upsilon((\alpha\ast \eta)\otimes \beta- \alpha\otimes (\eta\ast\beta))\in \mathcal{O}_{bal}(G\times G)^\perp\] äëÿ âñåõ \(\alpha,\beta\in{\mathscr A}(G)\) è \(\eta\in{\mathscr A}(N)\). Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷àåì íåïðåðûâíîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå \[{\mathscr A}(G)\mathop{\widehat\otimes}_{{\mathscr A}(N)} {\mathscr A}(G)\to \mathcal{O}(G\times G)'/\mathcal{O}_{bal}(G\times G)^\perp.\]
Çàìåòèì, ÷òî âñÿêîå ÿäåðíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì Øâàðöà [50]. Òåì ñàìûì \(\mathcal{O}(G\times G)\) åñòü ïðîñòðàíñòâî Ôðåøå–Øâàðöà, à çíà÷èò ê íåìó ïðèìåíèìî [50], êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò êàíîíè÷åñêèé òîïîëîãè÷åñêèé èçîìîðôèçì \(\mathcal{O}_{bal}(G\times G)'\to \mathcal{O}(G\times G)'/\mathcal{O}_{bal}(G\times G)^\perp\). Èòàê, ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå \(\Upsilon\) êîððåêòíî îïðåäåëåíî è ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì èçîìîðôèçìîì.
Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî \(\Upsilon\) åñòü ìîðôèçì \({\mathscr A}(G)\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-áèìîäóëeé.  ñèëó ëåììû 26 äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî \[\Upsilon(\delta_g\ast\delta_{h_1}\otimes \delta_{h_2})=\delta_g\bullet\Upsilon(\delta_{h_1}\otimes \delta_{h_2})\quad\text{è}\quad \Upsilon(\delta_{h_1}\otimes \delta_{h_2}\ast\delta_g)=\Upsilon(\delta_{h_1}\otimes \delta_{h_2})\bullet\delta_g\] äëÿ âñåõ \(g,h_1,h_2\in G\).
Ïóñòü \(f\in\mathcal{O}_{bal}(G\times G)\). Òîãäà èç 7 ñëåäóåò, ÷òî \[\langle\Upsilon(\delta_g\ast\delta_{h_1}\otimes \delta_{h_2}),f\rangle=f(gh_1,h_2)=(f \bullet \delta_{g})(h_1,h_2)=\langle\delta_g\bullet\Upsilon(\delta_{h_1}\otimes \delta_{h_2}), f\rangle.\] Ïåðâàÿ ôîðìóëà äîêàçàíà. Âòîðàÿ ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íî. ◻
Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü òåîðåìó îá îòíîñèòåëüíîé ãîìîëîãè÷åñêîé òðèâèàëüíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 25. Ñîãëàñíî ëåììå 24 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ìîäóëü \({\mathscr A}(G)\mathop{\widehat\otimes}_{{\mathscr A}(N)} {\mathscr A}(G)\) ñîäåðæèò îòíîñèòåëüíóþ äèàãîíàëü.
 ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 27 ýëåìåíòû ìîäóëÿ \({\mathscr A}(G)\mathop{\widehat\otimes}_{{\mathscr A}(N)} {\mathscr A}(G)\) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ôóíêöèîíàëàìè íà \(\mathcal{O}_{bal}(G\times G)\). Ïóñòü \(K\) — êîìïàêòíàÿ ïîäãðóïïà \(L\), äëÿ êîòîðîé ïîñëåäíÿÿ ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé êîìïëåêñèôèêàöèåé. Ïðîâåðèì, ÷òî ôóíêöèîíàë \[\label{forndia} d\!:\mathcal{O}_{bal}(G\times G)\to \mathbb{C}\!:f\mapsto \int_K f(k,k^{-1})\,dk,\tag{9}\] ãäå èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî íîðìèðîâàííîé ìåðå Õààðà, ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîé äèàãîíàëüþ. (Ìû èñïîëüçóåì òó æå ôîðìóëó, ÷òî è â ëåììå 18.) Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü óñëîâèÿ (1) è (2) ëåììû 24.
(1) Íàïîìíèì, ÷òî ñîãëàñíî ëåììå 26 ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ìíîæåñòâà äåëüòà-ôóíêöèé ïëîòíà â \({\mathscr A}(G)\). Ïîýòîìó óñëîâèå \(\mu\bullet d=d\bullet\mu\) äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà \(\mu=\delta_g\), \(g\in G\). Òàê êàê \(G\) ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì, òî áóäåì ïðîâåðÿòü îòäåëüíî äëÿ ýëåìåíòîâ \(N\) è \(L\).
Ïóñòü \(n\in N\). Èç 8 è 7 ñëåäóåò, ÷òî \[\langle\delta_n\bullet d,f\rangle=\int_K f(nk,k^{-1})\,dk\quad\text{è}\quad \langle d\bullet \delta_n,f\rangle=\int_K f(k,k^{-1}n)\,dk\] äëÿ ëþáîé ôóíêöèè \(f\in\mathcal{O}_{bal}(G\times G)\). Òàê êàê äëÿ êàæäîãî \(k\in K\) èìååì \(nk=kn_1\), ãäå \(n_1=k^{-1}nk \in N\), òî èç óñëîâèÿ \(f\in \mathcal{O}_{bal}(G\times G)\), ñëåäóåò, ÷òî \[f(nk,k^{-1})=f(kn_1,k^{-1})=f(k,n_1k^{-1})=f(k,k^{-1}n).\] Òåì ñàìûì \(\delta_n\bullet d=d\bullet \delta_n\).
Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë \(\widetilde{d}\) íà \(\mathcal{O}(L\times L)\), çàäàííûé òîé æå ôîðìóëîé, ÷òî è â 9 .  ñèëó ëåììû 18 òà æå ôîðìóëà çàäà¸ò òàêæå äèàãîíàëü â \({\mathscr E}'(K)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr E}'(K)\). Èç ëåììû 19 ñëåäóåò, ÷òî âëîæåíèå \(K\to L\) ïîðîæäàåò ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð \(\sigma\!:{\mathscr E}'(K)\to {\mathscr A}(L)\), êîòîðûé èìååò ïëîòíûé îáðàç. Ñëåäîâàòåëüíî, äèàãîíàëü â \({\mathscr E}'(K)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr E}'(K)\) îòîáðàæàåòñÿ â äèàãîíàëü â \({\mathscr A}(L)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr A}(L)\), ñð. ëåììó 17. Òåì ñàìûì \(\widetilde{d}\) åñòü äèàãîíàëü â \({\mathscr A}(L)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr A}(L)\).  ÷àñòíîñòè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî \(\delta_l\bullet \widetilde{d}=\widetilde{d}\bullet \delta_l\) äëÿ êàæäîãî \(l\in L\). Òàê êàê åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå \({\mathscr A}(L)\mathbin{\widehat{\otimes}}{\mathscr A}(L)\to {\mathscr A}(G)\mathop{\widehat\otimes}_{{\mathscr A}(N)} {\mathscr A}(G)\) ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì \({\mathscr A}(L)\)-áèìîäóëåé, ïîëó÷àåì, ÷òî \(\delta_l\bullet d=d\bullet \delta_l\) äëÿ êàæäîãî \(l\in L\).
(2) Ðàññìîòðèì êîóìíîæåíèå íà \(\mathcal{O}(G)\), ò.å. îòîáðàæåíèå \(\Delta(h)(g_1,g_2)=h(g_1g_2)\), \(g_1,g_2\in G\) (ñì. íà÷àëî § 2). Òîãäà óìíîæåíèå \(m\!:{\mathscr A}(G)\mathop{\widehat\otimes}_{{\mathscr A}(N)} {\mathscr A}(G)\to {\mathscr A}(G)\) èìååò âèä \[\langle m(\mu\otimes\eta), h\rangle=\langle \mu\otimes\eta,\Delta(h)\rangle\qquad (\mu,\eta \in {\mathscr A}(G),\, h\in \mathcal{O}(G)).\] Ñëåäîâàòåëüíî, \[\langle m(d),h\rangle=\langle d,\Delta(h)\rangle=\int_K h(kk^{-1})\,dk=h(e)=\langle\delta_e, h\rangle\] äëÿ âñåõ \(h\). Òàê êàê \(\delta_e\) ÿâëÿåòñÿ åäèíèöåé â \({\mathscr A}(G)\), óñëîâèå (2) ëåììû 24 âûïîëíåíî. ◻
Ìû èñïîëüçóåì ãîìîìîðôèçìû ìåæäó àíàëèòè÷åñêèìè ñìýø-ïðîèçâåäåíèÿìè. Ñóùåñòâîâàíèå òàêîâûõ îáåñïå÷èâàåòñÿ ñëåäóþùåé ëåììîé.
Ëåììà 28. [3] Ïóñòü \(H\) è \(K\) — \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðû Õîïôà, \(R\) — \(H\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëüíàÿ àëãåáðà, à \(S\) — \(K\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëüíàÿ àëãåáðà. Åñëè \(\beta\!:H\to K\) — ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð Õîïôà è \(\alpha\!: R\to S\) — ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð, êîòîðûé òàêæå ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì \(H\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëåé, òî ôîðìóëà \[\label{morsmpr} \alpha\mathop{\widehat{\#}}\beta\!:R\mathop{\widehat{\#}}H\to S\mathop{\widehat{\#}} K\!:r\otimes h\mapsto \alpha(r)\otimes \beta(h)\qquad{(3)}\] çàäà¸ò ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð.
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì êëþ÷åâîå óòâåðæäåíèå îá îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíûõ àëãåáðàõ (îíî ïàðàëëåëüíî òåîðåìå 34 íèæå).
Òåîðåìà 29. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ëåììû 28 è, êðîìå òîãî,
**(1) \(\alpha\) è \(\beta\) ãîìîëîãè÷åñêèå ýïèìîðôèçìû è èìåþò ïëîòíûå îáðàçû,
**(2) \(R\mathbin{\widehat{\#}}H\) ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíîé \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé.
Òîãäà \(\alpha\mathop{\widehat{\#}}\beta\!:R\mathbin{\widehat{\#}}H\to S\mathbin{\widehat{\#}}K\) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì è èìååò ïëîòíûé îáðàç.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàì ïîíàäîáÿòñÿ äâà ñâîéñòâà îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíûõ àëãåáð, êîòîðûå ïîçâîëÿþò èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû Ïèðêîâñêîãî èç [43] è èõ ìîäèôèêàöèè èç [2].
Íàïîìíèì, ÷òî \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà \(A\) íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíî êâàçèñâîáîäíîé, åñëè âñÿêîå å¸ äîïóñòèìîå ñèíãóëÿðíîå \(R\)-ðàñøèðåíèå ðàñùåïèìî, ñì. [43] è òàì æå îáñóæäåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ.
Ïðåäëîæåíèå 30. Ïóñòü \(R\) — \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà. Òîãäà âñÿêàÿ îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíàÿ \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà îòíîñèòåëüíî êâàçèñâîáîäíà.
Proof. Ïóñòü \(A\) — \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà è ïóñòü \(\mathop{\mathrm{db}}_R\) îáîçíà÷àåò îòíîñèòåëüíóþ áèðàçìåðíîñòü Õîõøèëüäà. Êàê âèäíî èç îïðåäåëåíèé, \(A\) ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà \(\mathop{\mathrm{db}}_R A = 0\) è îòíîñèòåëüíî êâàçèñâîáîäíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà \(\mathop{\mathrm{db}}_R A \le 1\) [43]. ßñíî, ÷òî ïåðâîå óñëîâèå âëå÷¸ò âòîðîå. ◻
Ñëåäóÿ [43], ìû ãîâîðèì, ÷òî ïðîåêòèâíûé \((A, R)\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-áèìîäóëü \(P\) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ êîíå÷íîñòè \((f_2)\), åñëè îí ÿâëÿåòñÿ ðåòðàêòîì áèìîäóëÿ âèäà \(A\mathop{\widehat\otimes}_{R}R^n\mathop{\widehat\otimes}_{R} A\) äëÿ íåêîòîðîãî \(n\in\mathbb{N}\). (Àëüòåðíàòèâíîå óñëîâèå \((f_1)\) ìû íå èñïîëüçóåì.) Äàëåå, \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà \(A\) íàçûâàåòñÿ \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé \((f_2)\)-êîíå÷íîãî òèïà, åñëè \(A\) äîïóñêàåò â \((A, R)-\!\mathop{\mathsf{mod}}\!-(A, R)\) ïðîåêòèâíóþ ðåçîëüâåíòó êîíå÷íîé äëèíû, ñîñòîÿùóþ èç áèìîäóëåé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ êîíå÷íîñòè \((f_2)\) [43].
Ïðåäëîæåíèå 31. Âñÿêàÿ îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíàÿ \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé \((f_2)\)-êîíå÷íîãî òèïà.
Proof. Ïóñòü \(A\) — îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíàÿ \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà. Òîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ ðåòðàêòîì \((A, R)\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-áèìîäóëÿ \(A\mathop{\widehat\otimes}_{R}A\), êîòîðûé î÷åâèäíî èçîìîðôåí áèìîäóëþ \(A\mathop{\widehat\otimes}_{R}R\mathop{\widehat\otimes}_{R}A\), à ïîñëåäíèé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ êîíå÷íîñòè \((f_2)\). Òåì ñàìûì \(A\) èìååò â \((A, R)-\!\mathop{\mathsf{mod}}\!-(A, R)\) ðåçîëüâåíòó äëèíû \(0\) è ïðè ýòîì âûïîëíåíî óñëîâèå êîíå÷íîñòè \((f_2)\). ◻
Êðîìå òîãî, â ñëåäóþùåì íèæå äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 29 èñïîëüçóþòñÿ ïîíÿòèÿ ãîìîìîðôèçìà, óäîâëåòâîðÿþùåãî ñâîéñòâó (UDE), è îòíîñèòåëüíîãî ãîìîëîãè÷åñêîãî ýïèìîðôèçìà. Ïî îïðåäåëåíèþ, íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì \(\varphi\!:A\to B\) ìåæäó \(\mathop{\widehat\otimes}\)-àëãåáðàìè óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó (UDE), åñëè êàæäîå íåïðåðûâíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå èç \(A\) â ïðîèçâîëüíûé \(B\)-\(\mathop{\widehat\otimes}\)-áèìîäóëü \(X\) åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðîäîëæàåòñÿ äî íåïðåðûâíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ èç \(B\) â \(X\) [2]. Îïðåäåëåíèå âòîðîãî ïîíÿòèÿ ñì. â § 2.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 29. Ðàññóæäåíèÿ áëèçêè ê ïðèâåä¸ííûì â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 4.5 èç [2], íî òðåáóþòñÿ íåêîòîðûå ìîäèôèêàöèè.
Ïîëîæèì \(A=R\mathop{\#}H\), \(B=S\mathbin{\widehat{\#}}K\), \(g=\alpha\) è \(f=\alpha\mathop{\widehat{\#}}\beta\). Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû 1.1 èç [2], à èìåííî, ÷òî
(1) \(g\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì;
(2) \(R\)-\(S\)-ãîìîìîðôèçì \((f, g)\) ÿâëÿåòñÿ ëåâûì èëè ïðàâûì îòíîñèòåëüíûì ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì;
(3) \(A\) ïðîåêòèâåí â \(R-\!\mathop{\mathsf{mod}}\), à \(B\) ïðîåêòèâåí â \(S-\!\mathop{\mathsf{mod}}\);
(4) \(A\) ÿâëÿåòñÿ \(R\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðîé \((f_2)\)-êîíå÷íîãî òèïà.
Óñëîâèå (1) âõîäèò â ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû. Òàê êàê äâóñòîðîííèé îòíîñèòåëüíûé ãîìîëîãè÷åñêèé ýïèìîðôèçì òàêæå ÿâëÿåòñÿ ëåâûì è ïðàâûì [43], èç [2] ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïðîâåðêè óñëîâèÿ (2) äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ñëåäóþùèå ôàêòû:
(A) \(g\!: R \to S\) èìååò ïëîòíûé îáðàç;
(B) \(f\!: A \to B\) óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó (UDE) è èìååò ïëîòíûé îáðàç;
(C) \(A\) îòíîñèòåëüíî êâàçèñâîáîäíà íàä \(R\).
Äåéñòâèòåëüíî, ïëîòíîñòü îáðàçîâ \(f\) è \(g\) ñëåäóåò èç óñëîâèé òåîðåìû. Äàëåå, ïîñêîëüêó \(\alpha\) è \(\beta\) ÿâëÿþòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèìè ýïèìîðôèçìàìè, ñâîéñòâî (UDE) âûïîëíåíî äëÿ íèõ ïî òåîðåìå 4.11 èç [2]. Áîëåå òîãî, [2] âëå÷¸ò, ÷òî \(f=\alpha\mathop{\widehat{\#}}\beta\) òàêæå óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó (UDE). Èç ïðåäëîæåíèÿ 30 ñëåäóåò, ÷òî \(A\) îòíîñèòåëüíî êâàçèñâîáîäíà íàä \(R\). Èòàê, óñëîâèÿ (A), (B) è (C) âûïîëíåíû, ÷òî äîêàçûâàåò óñëîâèå (2).
Äëÿ ïðîâåðêè óñëîâèÿ (3) çàìåòèì, ÷òî \(S\mathbin{\widehat{\#}}K\) èçîìîðôåí \(S\mathbin{\widehat{\otimes}} K\) êàê \(S\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëü, è, ñëåäîâàòåëüíî, îí ïðîåêòèâåí, áóäó÷è ñâîáîäíûì ìîäóëåì. Àíàëîãè÷íî, \(R\mathop{\#}H\) ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòèâíûì \(R\)-ìîäóëåì.
Íàêîíåö, óñëîâèå (4) âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 31. ◻
Ïðåäëîæåíèå 22 â ñîâîêóïíîñòè ñ òåîðåìàìè 25 è 29 ïîçâîëÿåò ïðîèçâåñòè ðåäóêöèþ òåîðåìû 13 ê ñëó÷àþ îäíîñâÿçíîé ðàçðåøèìîé ãðóïïû. Ïîäðîáíîñòè ñì. íèæå. Ñàì îäíîñâÿçíûé ðàçðåøèìûé ñëó÷àé îáñóæäàåòñÿ â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.
Ñëó÷àé îäíîñâÿçíîé ðàçðåøèìîé ãðóïïû ôàêòè÷åñêè èññëåäîâàí â [2], íî äëÿ àëãåáð Ëè è â íåñêîëüêî ìåíüøåé îáùíîñòè. Ïîýòîìó òðåáóþòñÿ óòî÷íåíèÿ.
Èòàê, ìû ñíà÷àëà äîêàæåì ÷àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû 13.
Òåîðåìà 32. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 13. Ïðåäïîëîæèì äîïîëíèòåëüíî, ÷òî \(F_n\) òðèâèàëüíà. Òîãäà \(\omega\) ÿâëÿåòñÿ ëîêàëèçóþùèì.
Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå \(G\) ðàçðåøèìà è îäíîñâÿçíà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îá óíèâåðñàëüíûõ îáåðòûâàþùèõ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì îáîáùåíèåì óòâåðæäåíèÿ î äîñòàòî÷íîñòè â òåîðåìå 14 (êîòîðàÿ åñòü òåîðåìà 4.3 èç [2]). Ïðè÷èíà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ïîñëåäíåé èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî ñóùåñòâîâàíèå ðàçëîæåíèÿ ?? .
 ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû ìû èñïîëüçóåì ñëåäóþùåå ïîíÿòèå. Ïóñòü \(H\) è \(K\) — \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðû Õîïôa, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëåíà êàê èòåðèðîâàííîå àíàëèòè÷åñêîå ñìýø-ïðîèçâåäåíèå, ò.å. \(H\cong(\cdots (H_1 \mathop{\widehat{\#}}H_2)\mathop{\widehat{\#}}\cdots)\mathop{\widehat{\#}}H_n\), ãäå \(R_1=H_1\), \(R_i=R_{i-1}\mathbin{\widehat{\#}}H_{i}\) è \(R_{i-1}\) ÿâëÿåòñÿ \(H_{i}\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëüíîé áèàëãåáðîé äëÿ êàæäîãî \(i=1,\ldots n-1\), è àíàëîãè÷íî äëÿ \(K\cong(\cdots (K_1 \mathop{\widehat{\#}}K_2)\mathop{\widehat{\#}}\cdots)\mathop{\widehat{\#}}K_n\), ãäå \(S_1=K_1\), \(S_i=S_{i-1}\mathbin{\widehat{\#}}K_{i}\) è \(S_{i-1}\) ÿâëÿåòñÿ \(K_{i}\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëüíîé áèàëãåáðîé äëÿ êàæäîãî \(i=1,\ldots n-1\). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð \(H\to K\) ñîãëàñîâàí ñ ýòèìè èòåðèðîâàííûìè ðàçëîæåíèÿìè, åñëè íà êàæäîì øàãå èòåðàöèè ìû èìååì ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð Õîïôà \(H_k\to K_k\) è ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð \(R_{k-1}\to S_{k-1}\), êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì \(H_k\)-ìîäóëåé, ñð. ëåììó 28.
Òåîðåìà 33. Ïóñòü \(\mathfrak{g}\) êîíå÷íîìåðíàÿ ðàçðåøèìàÿ êîìïëåêñíàÿ àëãåáðà Ëè è \[\label{fgdec} \mathfrak{g}=((\cdots (\mathfrak{f}_1 \rtimes \mathfrak{f}_2)\rtimes\cdots)\rtimes \mathfrak{f}_n\qquad{(4)}\] åñòü èòåðèðîâàííîå ðàçëîæåíèå â ïîëóïðÿìóþ ñóììó, òàêîå ÷òî \(\mathfrak{f}_1,\ldots,\mathfrak{f}_n\) îäíîìåðíû. Ïóñòü òàêæå \(\varphi\!:\!U(\mathfrak{g})\to K\) — ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð è âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
**(1) \(K_1,\ldots,K_n\) — \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðû Õîïôà è èìååò ìåñòî èòåðèðîâàííîå ðàçëîæåíèå \[\label{expfsmp} K\cong(\cdots (K_1 \mathop{\widehat{\#}}K_2) \mathop{\widehat{\#}}\cdots)\mathop{\widehat{\#}}K_n,\qquad{(5)}\]
**(2) \(\varphi\) ñîãëàñîâàí ñ ðàçëîæåíèåì \[U(\mathfrak{g})\cong(\cdots (U(\mathfrak{f}_1) \mathop{\#}U(\mathfrak{f}_2))\mathop{\#} \cdots)\mathop{\#} U(\mathfrak{f}_n),\] ïîðîæä¸ííûì ?? , â ñìûñëå, óêàçàííîì âûøå.
Òîãäà åñëè êàæäûé èç ãîìîìîðôèçìîâ \(U(\mathfrak{f}_i)\to K_i\) èìåeò ïëîòíûé îáðàç è ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì, òî òàêîâ æå è \(\varphi\).
 ñâîþ î÷åðåäü, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 33 íóæåí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 34. [2] Ïóñòü \(K\) åñòü \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà Õîïôà, \(S\) åñòü \(K\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëüíàÿ àëãåáðà, è \(R\) åñòü \(\mathbb{C}[z]\)-ìîäóëüíàÿ àëãåáðà ñ÷¸òíîé ëèíåéíîé ðàçìåðíîñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî \(\beta\!:\mathbb{C}[z]\to K\) åñòü ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð Õîïôà è \(\alpha\!:R\to S\) åñòü ãîìîìîðôèçì àëãåáð, ÿâëÿþùèéñÿ òàêæå ìîðôèçìîì \(\mathbb{C}[z]\)-ìîäóëåé. Åñëè îáà ãîìîìîðôèçìà \(\alpha\) è \(\beta\) èìåþò ïëîòíûå îáðàçû è ÿâëÿþòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèìè ýïèìîðôèçìàìè, òî òàêîâ æå è \[\alpha\mathop{\widehat{\#}}\beta\!:R\mathop{\#}\mathbb{C}[z]\to S\mathbin{\widehat{\#}}K.\]
Îòìåòèì, ÷òî êàê è â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 29 çäåñü èñïîëüçóåòñÿ òî, ÷òî \(R\mathop{\#}\mathbb{C}[z]\) îòíîñèòåëüíî êâàçèñâîáîäíà è èìååò \((f_2)\)-êîíå÷íûé òèï íàä \(R\), ñì. [43] è [2].
Òåïåðü ìû äîêàæåì òåîðåìó 33, à çàòåì òåîðåìó 32.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 33. Ðàññóæåíèÿ òàêèå æå êàê â [2]. Òåì íå ìåíåå, çäåñü ïðèâåäåíî ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññóæäàÿ ïî èíäóêöèè, ìû ïîêàæåì, ÷òî ãîìîìîðôèçì \[\label{truAMe} (\cdots (U(\mathfrak{f}_1) \mathop{\#}U(\mathfrak{f}_2))\mathop{\#} \cdots)\mathop{\#} U(\mathfrak{f}_k)\to (\cdots (K_1 \mathop{\widehat{\#}}K_2) \mathop{\widehat{\#}}\cdots)\mathop{\widehat{\#}}K_k,\tag{10}\] ïîëó÷åííûé íà êàæäîì øàãå èòåðàöèè ïðè \(k=1,\ldots,n\), ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì è èìååò ïëîòíûé îáðàç.
Ïðè \(k=1\) ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç óñëîâèÿ. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå âûïîëíåíî ïðè \(k-1\). Çàìåòèì, ÷òî \(U(\mathfrak{f}_k)\cong \mathbb{C}[z]\). Òàê êàê \(\varphi\) ñîãëàñîâàí ñ èòåðèðîâàííûìè ðàçëîæåíèÿìè, ãîìîìîðôèçì â 10 ìîæíî çàïèñàòü êàê \[\alpha\mathop{\widehat{\#}}\beta\!:R_{k-1}\mathop{\#}\mathbb{C}[z]\to S_{k-1}\mathbin{\widehat{\#}}K_k,\] ãäå \(R_{k-1}\) è \(S_{k-1}\) îáîçíà÷àþò àëãåáðû, ïîëó÷åííûå íà \((k-1)\)-ì øàãå. Çäåñü \(\beta\!:\mathbb{C}[z]\to K_k\) — ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð Õîïôà, à \(\alpha\!:R_{k-1}\to S_{k-1}\) — ýòî ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì \(\mathbb{C}[z]\)-ìîäóëåé.
Îáà ýïèìîðôèçìà \(\alpha\) è \(\beta\) ÿâëÿþòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèìè è èìåþò ïëîòíûå îáðàçû (ïåðâûé ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, âòîðîé ïî óñëîâèþ òåîðåìû), à ðàçìåðíîñòü \(R_{k-1}\) ñ÷¸òíà. Òàêèì îáðàçîì, âñå ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìû 34 âûïîëíåíû è, ñëåäîâàòåëüíî, \(R_{k-1}\mathop{\#}\mathbb{C}[z]\to S_{k-1}\mathbin{\widehat{\#}}K_k\) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì. Èíäóêöèÿ çàâåðøåíà.
Ïîëàãàÿ \(k=n\), ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî \(\varphi\) òàêæå èìåeò ïëîòíûé îáðàç è ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì. ◻
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 32. Îáîçíà÷èì ÷åðåç \(\theta\) ãîìîìîðôèçì ïîïîëíåíèÿ \({\mathscr A}(G)\to{\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\), à ÷åðåç \(\tau\) åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåë¸ííûé ãîìîìîðôèçì \(U(\mathfrak{g})\to {\mathscr A}(G)\) (ñì. 4 ), è ðàññìîòðèì èõ êîìïîçèöèþ \(\theta\tau\!:U(\mathfrak{g})\to {\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\).
Èç ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé î ðàçëîæåíèÿõ ãðóïïû è âåñà ñëåäóåò, ÷òî \({\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå èòåðèðîâàííîãî ñìýø-ïðîèçâåäåíèÿ \[(\cdots ({\mathscr A}_{\omega_1^\infty}(F_1) \mathop{\widehat{\#}} {\mathscr A}_{\omega_2^\infty}(F_2))\mathop{\widehat{\#}}\cdots) \mathop{\widehat{\#}} {\mathscr A}_{\omega_{n-1}^\infty}(F_{n-1})),\] ñì. [3]. Ýòî ðàçëîæåíèå ìîæåò çàïèñàíî â âèäå ?? , ãäå \(K_i= \mathfrak{A}_{s_i}\) äëÿ íåêîòîðîãî \(i\), ñì. [3], ïðè ýòîì îíî ñîãëàñîâàíî ñ ðàçëîæåíèåì \(\mathfrak{g}\) â èòåðèðîâàííóþ ïîëóïðÿìóþ ñóììó ?? è ñîîòâåòñòâåííûì ðàçëîæåíèåì \(U(\mathfrak{g})\) â èòåðèðîâàííîå ñìýø-ïðîèçâåäåíèå. Òàê êàê â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 8 êàæäûé èç ýïèìîðôèçìîâ \(U(\mathfrak{f}_i)\to\mathfrak{A}_{s_i}\) ãîìîëîãè÷åñêèé, òî èç òåîðåìû 33 ñëåäóåò, ÷òî \(\theta\tau\) òàêæå ãîìîëîãè÷åñêèé ýïèìîðôèçì.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê \(G\) îäíîñâÿçíà è ðàçðåøèìà, òî \(\tau\!:U(\mathfrak{g})\to {\mathscr A}(G)\) — ãîìîëîãè÷åñêèé ýïèìîðôèçì [1], à çíà÷èò, â ñèëó [8], òàêîâ æå è \(\theta\). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî \(\omega\) — ëîêàëèçóþùèé âåñ. ◻
Òåïåðü ìû ìîæåì çàêîí÷èòü ðàññóæäåíèÿ äëÿ âåñà, äîïóñêàþùåãî ðàçëîæåíèå, â îáùåì ñëó÷àå.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 13. Îáîçíà÷èì ãðóïïû \((\cdots (F_1 \rtimes F_2)\rtimes\cdots)\rtimes F_{n-1}\) è \(F_n\) èç ?? ÷åðåç \(B\) è \(L\). Òîãäà \(G=B\rtimes L\), à \(\widetilde{\omega}_{n-1}\) è \(\omega_{n}\) — ñóáìóëüòèïëèêàòèâíûå âåñà íà \(B\) è \(L\), ñîîòâåòñòâåííî. Áóäó÷è îãðàíè÷åíèÿìè àñèìïòîòè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî âåñà, îíè ñàìè ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñèììåòðè÷íûìè. Ñîãëàñíî óñëîâèþ òåîðåìû \[\omega(bl)\simeq \widetilde{\omega}_{n-1}(b)\omega_n(l)\quad\text{íà B\times L} \quad(\text{b\in B è l\in L}).\]  ñèëó [3] èìååò ìåñòî èçîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð \[{\mathscr A}_{\widetilde{\omega}_{n-1}^\infty}(B)\mathop{\widehat{\#}} {\mathscr A}_{\omega_n^\infty}(L)\to {\mathscr A}_{\omega^\infty}(G).\] Îáîçíà÷èì \({\mathscr A}(B)\to {\mathscr A}_{\widetilde{\omega}_{n-1}^\infty}(B)\) è \({\mathscr A}(L)\to {\mathscr A}_{\omega_n^\infty}(L)\) ÷åðåç \(\alpha\) è \(\beta\) ñîîòâåòñòâåííî. Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî \(\alpha\mathop{\widehat{\#}}\beta\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì.
Ìû âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 29. Äåéñòâèòåëüíî, \(\beta\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 22. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, \({\mathscr A}(B)\to {\mathscr A}_{\widetilde{\omega}_{n-1}^\infty}(B)\) åñòü ãîìîëîãè÷åñêèé ýïèìîðôèçì ñîãëàñíî òåîðåìå 32. Áîëåå òîãî, èç òåîðåìû 25 ñëåäóåò, ÷òî \({\mathscr A}(G)\) ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíîé íàä \({\mathscr A}(B)\). Òàê êàê \({\mathscr A}(G)\) èçîìîðôíà \({\mathscr A}(B)\mathop{\widehat{\#}} {\mathscr A}(L)\) ìû ìîæåì ïðèìåíèòü òåîðåìó 29, èç êîòîðîé ïîëó÷àåì, ÷òî \(\alpha\mathop{\widehat{\#}}\beta\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì. ◻
Êàê îòìå÷åíî âûøå, äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 11 âêëþ÷àåò òðè øàãà:
ðåäóêöèÿ ê ñëó÷àþ ãðóïïû Øòåéíà,
ðåäóêöèÿ ê ñëó÷àþ ëèíåéíîé ãðóïïû,
äîêàçàòåëüñòâî â ñëó÷àå ëèíåéíîé ãðóïïû.
Ñíà÷àëà ìû ïîêàæåì, ÷òî â òåîðåìå 11 äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî (ñâÿçíûå) ãðóïïû Øòåéíà.
Ñîãëàñíî Ìîðèìîòî [51] âñÿêàÿ ñâÿçíàÿ êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè \(G\) ñîäåðæèò íàèìåíüøóþ çàìêíóòóþ íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïó \(\mathrm{M}\), òàêóþ ÷òî \(G/\mathrm{M}\) ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé Øòåéíà. Áóäåì íàçûâàòü å¸ ïîäãðóïïîé Ìîðèìîòî.
Ïðåäëîæåíèå 35. Ãîìîìîðôèçì \(\pi\!:{\mathscr A}(G)\to{\mathscr A}(G/\mathrm{M})\), èíäóöèðîâàííûé ôàêòîðîòîáðàæåíèåì \(G\to G/M\), ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì èçîìîðôèçìîì.
Íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà, êîòîðàÿ ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî.
Ëåììà 36. Ïóñòü \(N\) — çàìêíóòàÿ íîðìàëüíàÿ êîìïëåêñíàÿ ïîäãðóïïà â êîìïëåêñíîé ãðóïïå Ëè \(G\). Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå \(\mathcal{O}(G/N)\to\mathcal{O}(G)\), èíäóöèðîâàííîå ôàêòîðîòîáðàæåíèåì \(G\to G/N\), òîïîëîãè÷åñêè èíúåêòèâíî, à åãî îáðàç ñîâïàäàåò ñ ïðîñòðàíñòâîì ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé, ïîñòîÿííûõ íà êàæäîì ñìåæíîì êëàññå \(N\).
Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 35. Èç [51] ñëåäóåò, ÷òî âñÿêàÿ ãîëîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ íà \(G\) ïîñòîÿííà íà ñìåæíûõ êëàññàõ ïîäãðóïïû Ìîðèìîòî \(\mathrm{M}\). Èç ëåììû 36 ïîëó÷àåì, ÷òî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå \(\pi'\!:\mathcal{O}(G/\mathrm{M})\to\mathcal{O}(G)\), äâîéñòâåííîå ê \(\pi\), ñ îäíîé ñòîðîíû, ñþðúåêòèâíî, à ñ äðóãîé, òîïîëîãè÷åñêè èíúåêòèâíî, ò.å. ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì èçîìîðôèçìîì. Òåì ñàìûì \(\pi\) — òàêæå òîïîëîãè÷åñêèé èçîìîðôèçì. ◻
Òåïåðü ìû ïîêàæåì, ÷òî ìîæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ãðóïïà ëèíåéíà. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå — îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàáîòû [7] (ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, óïîìÿíóòàÿ ñòàòüÿ è áûëà íàïèñàíà àâòîðîì, ÷òîáû â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâà ëèíåaðèçàòîðà ïðè èññëåäîâàíèè ãîìîëîãè÷åñêèõ ýïèìîðôèçìîâ).
Òåîðåìà 37. [7] Ïóñòü \(G\) — ñâÿçíàÿ êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè, \(\Lambda\) — å¸ ëèíåaðèçàòîð, à \(\mathrm{M}\) — å¸ ïîäãðóïïà Ìîðèìîòî. Òîãäà \(\Lambda\) èçîìîðôåí \(\mathrm{M}\times(\mathbb{C}^\times)^k\) äëÿ íåêîòîðîãî \(k\in\mathbb{Z}_+\).
Ñëåäñòâèå 38. Ïóñòü \(\Lambda\) — ëèíåaðèçàòîð ñâÿçíîé êîìïëåêñíîé ãðóïïû Ëè. Òîãäà \({\mathscr A}(\Lambda)\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà.
Proof. Èç òåîðåìû 37 è ïðåäëîæåíèÿ 35 ñëåäóåò, ÷òî \({\mathscr A}(\Lambda)\) èçîìîðôíà \({\mathscr A}((\mathbb{C}^\times)^k)\) äëÿ íåêîòîðîãî \(k\in\mathbb{Z}_+\). Áóäó÷è êîìïëåêñèôèêàöèåé òîðà, \((\mathbb{C}^\times)^k\) ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíà. Òå ñàìûì \({\mathscr A}((\mathbb{C}^\times)^k)\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà â ñèëó òåîðåìû 16. ◻
Ñëåäñòâèå 38 áóäåò èñïîëüçîâàíî â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäëîæåíèÿ 42. À òåïåðü ìû ïîêàæåì, ÷òî ïðè èçó÷åíèè íåêîòîðûõ ãîìîëîãè÷åñêèõ âîïðîñîâ ìîæíî èãíîðèðîâàòü âñÿêóþ çàìêíóòóþ íîðìàëüíóþ êîìïëåêñíóþ ïîäãðóïïó \(N\) òàêóþ, ÷òî \({\mathscr A}(N)\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà.
Åñëè \(N\) — çàìêíóòàÿ íîðìàëüíàÿ êîìïëåêñíàÿ ïîäãðóïïà â êîìïëåêñíîé ãðóïïå Ëè \(G\), òî îáîçíà÷èì ÷åðåç \({\mathscr A}(N)_0\) ÿäðî êîåäèíèöû \({\mathscr A}(N)\) (ò.å. ìíîæåñòâî âñåõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ, ðàâíûõ \(0\) íà ïîñòîÿííûõ ôóíêöèÿõ). Òàê êàê ãîìîìîðôèçì \({\mathscr A}(N)\to {\mathscr A}(G)\), ïîðîæä¸ííûé âëîæåíèåì \(N\to G\), òîïîëîãè÷åñêè èíúåêòèâåí (ñì. òåîðåìó 44 â ïðèëîæåíèè), òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü \({\mathscr A}(N)\) è \({\mathscr A}(N)_0\) êàê çàìêíóòûå ïîäìíîæåñòâà â \({\mathscr A}(G)\). Ïî ñóòè äåëà, ýòà èíôîðìàöèÿ íåìíîãî èçáûòî÷íà, òàê êàê â ëåììå 39 è ïðåäëîæåíèè 41 íèæå, ìû èñïîëüçóåì ëèøü òî, ÷òî ãîìîìîðôèçì \({\mathscr A}(N)\to {\mathscr A}(G)\) ñíàáæàåò \({\mathscr A}(G)\) ñòðóêòóðîé \({\mathscr A}(N)\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëÿ. Îäíàêî ïîñêîëüêó òîïîëîãè÷åñêàÿ èíúåêòèâíîñòü èìååò ìåñòî, ìû íå áóäåì å¸ èãíîðèðîâàòü.
Ëåììà 39. Ïóñòü \(N\) — çàìêíóòàÿ íîðìàëüíàÿ êîìïëåêñíàÿ ïîäãðóïïà â êîìïëåêñíîé ãðóïïå Ëè \(G\) è ïóñòü \(\pi\!:{\mathscr A}(G)\to{\mathscr A}(G/N)\) — ãîìîìîðôèçì \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáð, èíäóöèðîâàííûé ôàêòîðîòîáðàæåíèåì \(G\to G/N\). Òîãäà \[\mathop{\mathrm{Ker}}\pi =\,\overline{{\mathscr A}(G)\,{\mathscr A}(N)_0}\,=\,\overline{{\mathscr A}(N)_0\, {\mathscr A}(G)},\] ãäå ÷åðòà îçíà÷àåò çàìûêàíèå.
Proof. Ìû èñïîëüçóåì òîò æå òðþê, ÷òî è äîêàçàòåëüñòâå [3] — ðåäóêöèþ ê ãðóïïîâûì àëãåáðàì (êîòîðûå ïëîòíû â àëãåáðàõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ â ñèëó ëåììû 26).
Îáîçíà÷èì î÷åâèäíî îïðåäåë¸ííûé ãîìîìîðôèçì \(\mathbb{C}[G]\to\mathbb{C}[G/N]\) ÷åðåç \(\pi_d\) è ïîêàæåì, ÷òî îáðàç \(\mathop{\mathrm{Ker}}\pi_d\) ïðè âëîæåíèè \(\mathbb{C}[G]\to {\mathscr A}(G)\) ïëîòåí â \(\mathop{\mathrm{Ker}}\pi\). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî äâîéñòâåííîå îòîáðàæåíèå \((\mathop{\mathrm{Ker}}\pi)' \to (\mathop{\mathrm{Ker}}\pi_d)'\) èíúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó ëåììû 36 \((\mathop{\mathrm{Ker}}\pi)'\) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ \(\mathcal{O}(G)/\mathop{\mathrm{Im}}\pi'\) è àíàëîãè÷íî \((\mathop{\mathrm{Ker}}\pi_d)'\) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ \(\mathbb{C}^G/\mathop{\mathrm{Im}}\pi_d'\). Åñëè ôóíêöèÿ èç \(\mathcal{O}(G)\) ñîäåðæèòñÿ â \(\mathop{\mathrm{Im}}\pi_d'\), òî îíà î÷åâèäíî ñîäåðæèòñÿ â \(\mathop{\mathrm{Im}}\pi'\). Ýòèì äîêàçàíà èíúåêòèâíîñòü \((\mathop{\mathrm{Ker}}\pi)' \to (\mathop{\mathrm{Ker}}\pi_d)'\).
Îáîçíà÷èì ÿäðî êîåäèíèöû ãðóïïîâîé àëãåáðû \(\mathbb{C}[N]\) ÷åðåç \(\mathbb{C}[N]_0\). Îíî ñîñòîèò èç òåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé äåëüòà-ôóíêöèé, ñóììû êîýôôèöèåíòîâ êîòîðûõ ðàâíû \(0\). Ïðîâåðèì, ÷òî \(\mathop{\mathrm{Ker}}\pi_d=\mathbb{C}[G]\,\mathbb{C}[N]_0\). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè \(\sum_{h\in G} c_h\delta_h\in \mathop{\mathrm{Ker}}\pi_d\), òî äëÿ âñÿêîãî \(g\in G\) èìååì \(\sum_{h\in gN}c_h=0\) è òåì ñàìûì \(\sum_{h\in gN}c_h\delta_{g^{-1}h}\in\mathbb{C}[N]_0\). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî \(\mathop{\mathrm{Ker}}\pi_d\subset\mathbb{C}[G]\,\mathbb{C}[N]_0\). Îáðàòíîå âêëþ÷åíèå î÷åâèäíî.
 ñèëó ëåììû 26 îáðàçû \(\mathbb{C}[G]\) è \(\mathbb{C}[N]_0\) ïëîòíû â \({\mathscr A}(G)\) è \({\mathscr A}(N)_0\) ñîîòâåòñòâåííî. Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî \(\mathop{\mathrm{Ker}}\pi_d=\mathbb{C}[G]\,\mathbb{C}[N]_0\) è ïëîòíîñòü îáðàçà \(\mathop{\mathrm{Ker}}\pi_d\) â \(\mathop{\mathrm{Ker}}\pi\), çàêëþ÷àåì îòñþäà, ÷òî \(\mathop{\mathrm{Ker}}\pi =\,\overline{{\mathscr A}(G)\,{\mathscr A}(N)_0}\). Âòîðàÿ ôîðìóëà ïîëó÷àåòñÿ àíàëîãè÷íî. ◻
Íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùèé õîðîøî èçâåñòíûé èçîìîðôèçì, ñì. äîêàçàòåëüñòâî â íóæíîé íàì îáùíîñòè â [52].
Ïðåäëîæåíèå 40. Ïóñòü \(A\) åñòü \(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-àëãåáðà, à \(I\) åñòü å¸ çàìêíóòûé ëåâûé èäåàë. Òîãäà äëÿ êàæäîãî \(X\in \mathop{\mathsf{mod}}\!-A\) ñóùåñòâóåò òîïîëîãè÷åñêèé èçîìîðôèçì \[X\mathop{\widehat\otimes}_{A}(A/I)^\sim \cong(X/\,\overline{X\cdot I})^\sim\] (çäåñü òèëüäà îáîçíà÷àåò ïîïîëíåíèå), îïðåäåë¸ííûé ôîðìóëîé \[x \otimes (a + I)\mapsto x\cdot a + X \cdot I.\]
Ðàññìîòðèì íà \({\mathscr A}(G/N)\) ñòðóêòóðó \({\mathscr A}(G)\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-áèìîäóëÿ, ïîðîæä¸ííóþ ãîìîìîðôèçìîì \(\pi\!:{\mathscr A}(G)\to{\mathscr A}(G/N)\).
Ïðåäëîæåíèå 41. Ïóñòü \(N\) — çàìêíóòàÿ íîðìàëüíàÿ êîìïëåêñíàÿ ïîäãðóïïà â êîìïëåêñíîé ãðóïïå Ëè \(G\). Åñëè \({\mathscr A}(N)\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà, òî \({\mathscr A}(G/N)\) ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòèâíûì è êàê ëåâûé è êàê ïðàâûé \({\mathscr A}(G)\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëü.
Proof. Çàìåòèì, ÷òî \(\pi\!:{\mathscr A}(G)\to{\mathscr A}(G/N)\) ñþðúåêòèâåí è îòêðûò [38]. Áîëåå òîãî, ñîãëàñíî ëåììå 39 èìååì \(\mathop{\mathrm{Ker}}\pi =\overline{{\mathscr A}(G)\,{\mathscr A}(N)_0}\). Òåì ñàìûì \[{\mathscr A}(G/N)\cong {\mathscr A}(G)/\,\overline{{\mathscr A}(G)\,{\mathscr A}(N)_0},\] è ïðîñòðàíñòâî â ïðàâîé ÷àñòè ïîëíî. (Ìû ðàññìàòðèâàåì \({\mathscr A}(N)_0\) è \({\mathscr A}(N)\) êàê çàìêíóòûå ïîäàëãåáðû â \({\mathscr A}(G)\), ñì. òåîðåìó 44 â ïðèëîæåíèè.) Áóäó÷è îäíîìåðíûì, ïðîñòðàíñòâî \({\mathscr A}(N)/{\mathscr A}(N)_0\) òàêæå ïîëíî. Ïîëàãàÿ \(A={\mathscr A}(N)\), \(I={\mathscr A}(N)_0\) è \(X={\mathscr A}(G)\) â ïðåäëîæåíèè 40, ïîëó÷àåì \[{\mathscr A}(G)/\,\overline{{\mathscr A}(G)\,{\mathscr A}(N)_0}\cong {\mathscr A}(G)\mathop{\widehat\otimes}_{{\mathscr A}(N)}({\mathscr A}(N)/{\mathscr A}(N)_0),\] òàê êàê íåò íåîáõîäèìîñòè â ïîïîëíåíèè óêàçàííûõ âûøå äâóõ ïðîñòðàíñòâ. Îáúåäèíÿÿ îáå ôîðìóëû ñ èçîìîðôèçìîì \({\mathscr A}(N)/{\mathscr A}(N)_0\cong\mathbb{C}\), çàêëþ÷àåì, ÷òî \({\mathscr A}(G/N)\cong {\mathscr A}(G)\mathop{\widehat\otimes}_{{\mathscr A}(N)}\mathbb{C}\).
Òàê êàê \({\mathscr A}(N)\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà, òî \(\mathbb{C}\) ïðîåêòèâåí â \({\mathscr A}(N)-\!\mathop{\mathsf{mod}}\). Îñòà¸òñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì î÷åâèäíûì ôàêòîì, ÷òî ôóíêòîð ðàñøèðåíèÿ ñêàëÿðîâ \({\mathscr A}(G)\mathop{\widehat\otimes}_{{\mathscr A}(N)}(-)\) ïåðåâîäèò ñâîáîäíûå îáúåêòû â ñâîáîäíûå, à çíà÷èò, ïðîåêòèâíûå â ïðîåêòèâíûå.
Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ïðàâûõ ìîäóëåé àíàëîãè÷íî. ◻
Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü óòâåðæäåíèå î ðåäóêöèè òåîðåìû 11 ê ñëó÷àþ ñâÿçíîé ëèíåéíîé ãðóïïû.
Ïðåäëîæåíèå 42. Ïóñòü \(G\) — ñâÿçíàÿ êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè, \(\Lambda\) — å¸ ëèíåaðèçàòîð, à \(\omega\) — ëîêàëèçóþùèé âåñ íà \(G/\Lambda\). Òîãäà ýïèìîðôèçì \({\mathscr A}(G)\to{\mathscr A}_{\omega^\infty}(G/\Lambda)\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì.
Proof. Áóäó÷è ñþðúåêòèâíûì [38], ãîìîìîðôèçì \({\mathscr A}(G)\to {\mathscr A}(G/\Lambda)\) ÿâëÿåòñÿ ýïèìîðôèçìîì.
Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 38 àëãåáðà \({\mathscr A}(\Lambda)\) ãîìîëîãè÷åñêè òðèâèàëüíà. Ïîýòîìó ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäëîæåíèåì 41, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî \({\mathscr A}(G/\Lambda)\) åñòü ïðîåêòèâíûé ëåâûé \({\mathscr A}(G)\)-\(\mathbin{\widehat{\otimes}}\)-ìîäóëü. Òîãäà íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ïîëó÷àåì, ÷òî ýïèìîðôèçì \({\mathscr A}(G)\to {\mathscr A}(G/\Lambda)\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì. Òàê êàê \(\omega\) — ëîêàëèçóþùèé âåñ, òî \({\mathscr A}(G/\Lambda)\to{\mathscr A}_{\omega^\infty}(G/\Lambda)\) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì. Îñòàëîñü âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî êîìïîçèöèÿ äâóõ ãîìîëîãè÷åñêèõ ýïèìîðôèçìîâ åñòü ãîìîëîãè÷åñêèé ýïèìîðôèçì. ◻
Òåïåðü ìû ìîæåì çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî êëþ÷åâîé òåîðåìû.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 11. (1) Ñíà÷àëà ïðåäïîëîæèì, ÷òî \(G\) ëèíåéíà. Ñîãëàñíî [3] ïðè óêàçàííûõ óñëîâèÿõ ãðóïïà \(G\) è âåñ \(\omega_{\max}\) äîïóñêàþò ðàçëîæåíèÿ ?? è ?? ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷¸ì âåñà \(\omega_i\) èìåþò âèä ëèáî \(z\mapsto 1+|z|\) ëèáî \(z\mapsto \exp(|z|^{1/s})\) äëÿ íåêîòîðîãî \(s\ge 1\).  ñèëó ëåììû 7 è ïðåäëîæåíèÿ 8 âñå ýòè âåñà ÿâëÿþòñÿ ëîêàëèçóþùèìè. Ïîýòîìó èç òåîðåìû 13 ñëåäóåò, ÷òî \(\omega_{\max}\) — ëîêàëèçóþùèé.
(2) Ïóñòü \(G\) — ïðîèçâîëüíàÿ ñâÿçíàÿ êîìïëåêñíàÿ ãðóïïà Ëè, à \(\Lambda\) — å¸ ëèíåaðèçàòîð.  ñèëó ÷àñòè (1) çàêëþ÷àåì, ÷òî \(\omega_{\max}\) — ëîêàëèçóþùèé âåñ íà \(G/\Lambda\). Òîãäà ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 42 ýïèìîðôèçì \({\mathscr A}(G)\to{\mathscr A}_{\omega^\infty}(G/\Lambda)\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì. ◻
Íàïîìíèì, ÷òî îñíîâíàÿ òåîðåìà 10 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ñëåäñòâèåì òåîðåìû 11, ñì. § 3.
Êàê âèäíî èç ïðåäûäóùèõ ðåçóëüòàòîâ, ëîêàëèçóþùèå âåñà ñóùåñòâóþò â èçîáèëèè. Ðàññìîòðèì òàêæå ïðèìåð âåñà, êîòîðûé íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëèçóþùèì,
Ïðèìåð 43. Ðàññìîòðèì íà \(G=\mathbb{C}\) âåñ \(\omega(z)=1+\log|z|\). Èç [39] ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå \({\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\) — îäíîìåðíàÿ àëãåáðà. Ïðèìåíÿÿ \({\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\mathop{\widehat\otimes}_{{\mathscr A}(G)}(-)\) ê ðåçîëüâåíòå \[0 \leftarrow \mathbb{C} \xleftarrow{\varepsilon} {\mathscr A}(\mathbb{C})\xleftarrow{\delta_0}{\mathscr A}(\mathbb{C})\leftarrow 0.\] (ñì. äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 4.4 èç [2]) ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü \[0 \longleftarrow \mathbb{C} \longleftarrow \mathbb{C} \longleftarrow \mathbb{C} \leftarrow 0,\] êîòîðàÿ íå òî÷íà. Òåì ñàìûì ýïèìîðôèçì \({\mathscr A}(G)\to{\mathscr A}_{\omega^\infty}(G)\) íå ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì, à çíà÷èò \(\omega\) — ëîêàëèçóþùèì.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 15 (î ïîïîëíåíèè óíèâåðñàëüíîé îáåðòûâàþùåé àëãåáðû), ïðèâåä¸ííîå íèæå, ñóùåñòâåííî îïèðàåòñÿ íà òåîðåìó 33 è íà ðåçóëüòàòû Ïèðêîâñêîãî èç [1], [31].
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 15. (1) Íåîáõîäèìîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýïèìîðôèçì \(U(\mathfrak{g})\to \widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì è ïîêàæåì, ÷òî \(\mathfrak{g}\) ðàçðåøèìà.
Ðàññóæäåíèå àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó [31], ãäå èñïîëüçóåòñÿ ðàçëîæåíèå \(\widehat U(\mathfrak{g})\) â àíàëèòè÷åñêîå ñìýø-ïðîèçâåäåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçëîæåíèþ Ëåâè àëãåáðû \(\mathfrak{g}\). Àëãåáðà \(\widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}\) òàêæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê àíàëèòè÷åñêîå ñìýø-ïðîèçâåäåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, çàìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 4 \(\widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}\cong \widehat{\mathscr A}(G)^{\mathrm{PI}}\), ãäå \(G\) — ñîîòâåòñòâóþùàÿ îäíîñâÿçíàÿ ãðóïïà Ëè.
Ïóñòü \(\mathfrak{g}=\mathfrak{r}\rtimes \mathfrak{s}\) — ðàçëîæåíèå Ëåâè (\(\mathfrak{r}\) — ðàäèêàë, à \(\mathfrak{s}\) ïîëóïðîñòà). Åìó ñîîòâåòñòâóåò ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå \(G=R\rtimes S\), ãäå \(G\), \(R\) è \(S\) — îäíîñâÿçíûå êîìïëåêñíûå ãðóïïû Ëè, äëÿ êîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííî \(\mathfrak{g}\), \(\mathfrak{r}\) è \(\mathfrak{s}\) åñòü èõ àëãåáðû Ëè [53]. Òîãäà \(R\) ðàçðåøèìà è îäíîñâÿçíà, à \(S\) ëèíåéíî êîìïëåêñíî ðåäóêòèâíà, áóäó÷è ïîëóïðîñòîé.  ÷àñòíîñòè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî \(G\) ëèíåéíà è ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ðåçóëüòàòû î ðàçëîæåíèè â àíàëèòè÷åñêîå ñìýø-ïðîèçâåäåíèå. Èç [3] è ñóùåñòâîâàíèÿ èçîìîðôèçìà \(\widehat{\mathscr A}(S)\cong \widehat U(\mathfrak{s})\) ñëåäóåò, ÷òî \[\widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}\cong A \mathop{\widehat{\#}} \widehat U(\mathfrak{s}),\] ãäå \[\label{solbPIdec} A=(\cdots (\mathbb{C}[[x_1]] \mathop{\widehat{\#}} \cdots \mathbb{C}[[x_p]])\mathop{\widehat{\#}} \mathcal{O}(\mathbb{C}))\mathop{\widehat{\#}}\cdots\mathcal{O}(\mathbb{C}).\tag{11}\] Òàê æå, êàê â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 3.4 èç [31], ïîëó÷àåì, ÷òî \({\mathop{\mathrm{Tor}}\nolimits}_n^{\widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}}(\mathbb{C},A)=0\) äëÿ âñåõ \(n>0\).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàññóæäàÿ òàê æå, êàê è â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 3.5 èç [31] ñ çàìåíîé àëãåáðû, êîòîðàÿ òàì îáîçíà÷åíà ÷åðåç \(\widetilde{U}(\mathfrak{r})\) íà \(A\), ïîëó÷àåì, ÷òî \({\mathop{\mathrm{Tor}}\nolimits}_k^{U(\mathfrak{g})}(\mathbb{C},A)\neq 0\), ãäå \(k\) — ðàçìåðíîñòü \(\mathfrak{s}\). (Âñ¸, ÷òî òðåáóåòñÿ îò \(A\) — òîò ôàêò, ÷òî \(\mathfrak{s}\) äåéñòâóåò íà íåé íåïðåðûâíûìè äèôôåðåíöèðîâàíèÿìè è íàëè÷èå êàíîíè÷åñêîé àóãìåíòàöèè.) Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî \(k=0\), ò.å. \(\mathfrak{s}\) òðèâèàëüíà, à çíà÷èò \(\mathfrak{g}\) ðàçðåøèìà.
(2) Äîñòàòî÷íîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî \(\mathfrak{g}\) ðàçðåøèìà. Òîãäà èç [3] ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò èòåðèðîâàííîå ðàçëîæåíèå 11 àëãåáðû \(A=\widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}\), ñîãëàñîâàííîå ñ íåêîòîðûì èòåðèðîâàííûì ðàçëîæåíèåì â ïîëóïðÿìóþ ñóììó \[\mathfrak{g}=((\cdots (\mathfrak{f}_1 \rtimes \mathfrak{f}_2)\rtimes\cdots)\rtimes \mathfrak{f}_n\] è òàêèì, ÷òî \(\mathfrak{f}_1,\ldots,\mathfrak{f}_n\) îäíîìåðíû. Ïîñêîëüêó \(U(\mathfrak{f}_i)\cong\mathbb{C}[x]\), à êàæäûé èç ýïèìîðôèçìîâ \(\mathbb{C}[x]\to \mathbb{C}[[x]]\) è \(\mathbb{C}[x]\to\mathcal{O}(\mathbb{C})\) ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì (ëåììà 8) è èìååò ïëîòíûé îáðàç, èç òåîðåìû 33 ñëåäóåò, ÷òî \(U(\mathfrak{g})\to \widehat U(\mathfrak{g})^{\mathrm{PI}}\) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷åñêèì ýïèìîðôèçìîì. ◻
Ìû ññûëàåìñÿ íà òåîðåìó, ïðèâåä¸ííóþ â ýòîì ïðèëîæåíèè, â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäëîæåíèÿ 41. Êàê óêàçàíî â îáñóæäåíèè ïåðåä ëåììîé 39, îíà íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîé ÷àñòüþ ðàññóæäåíèé, íî, òåì íå ìåíåå, îáëåã÷àåò ïîíèìàíèå ïîâåäåíèÿ àëãåáð àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ íà ïîäãðóïïàõ. Ñàìà ïî ñåáå òåîðåìà ïðåäñòàâëÿåò ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ è äîêàçàíà çäåñü â áîëåå îáùåì êîíòåêñòå ïðîñòðàíñòâ Øòåéíà.
Íàïîìíèì, ÷òî âñÿêèé ìîðôèçì êîìïëåêñíûõ àíàëèòè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ \[(S_1,\mathcal{O}_{S_1})\to (S_2,\mathcal{O}_{S_2})\] èíäóöèðóåò ãîìîìîðôèçì àëãåáð ãëîáàëüíûõ ñå÷åíèé \(\rho\!:\mathcal{O}(S_2)\to \mathcal{O}(S_1)\), à âñÿêàÿ àëãåáðà ñå÷åíèé ñíàáæåíà êàíîíè÷åñêîé òîïîëîãèåé, ïðåâðàùàþùåé å¸ â àëãåáðó Ôðåøå. Áîëåå òîãî, \(\rho\) íåïðåðûâåí îòíîñèòåëüíî êàíîíè÷åñêèõ òîïîëîãèé. Ïîäðîáíîñòè ñì., íàïðèìåð, â íà÷àëå § 1 èç [54]. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî òîïîëîãèè íà àëãåáðàõ ñå÷åíèé ñíà÷àëà îïðåäåëÿþòñÿ äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ îòêðûòûõ ïîäìíîæåñòâ, à çàòåì ïåðåíîñÿòñÿ íà ïðîèçâîëüíûå ñ ïîìîùüþ àêñèîìû ñêëåéêè. Íåïðåðûâíîñòü òàêæå ñíà÷àëà äîêàçûâàåòñÿ äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ îòêðûòûõ ïîäìíîæåñòâ, à çàòåì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà îáùèé ñëó÷àé ñ èñïîëüçîâàíèåì óíèâåðñàëüíîãî ñâîéñòâà óðàâíèòåëÿ, ôèãóðèðóþùåãî â àêñèîìå ñêëåéêè.
Òàê æå êàê è â ñëó÷àå ìíîãîîáðàçèÿ, ïîëîæèì \({\mathscr A}(S_1)\!:=\mathcal{O}(S_1)'\) äëÿ êîìïëåêñíîãî àíàëèòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà \((S_1,\mathcal{O}_{S_1})\) (çäåñü øòðèõ îáîçíà÷àåò ñèëüíîå äâîéñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî). Íàñ èíòåðåñóþò ñâîéñòâà äâîéñòâåííîãî ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ \(\rho'\!:{\mathscr A}(S_1)\to {\mathscr A}(S_2)\) â ñëó÷àå, êîãäà \((S_1,\mathcal{O}_{S_1})\to (S_2,\mathcal{O}_{S_2})\) ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì âëîæåíèåì ïðîñòðàíñòâ Øòåéíà (ñì. îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà â [55]).
Òåîðåìà 44. Ïóñòü \((S_1,\mathcal{O}_{S_1})\to (S_2,\mathcal{O}_{S_2})\) åñòü çàìêíóòîå âëîæåíèå ïðîñòðàíñòâ Øòåéíà. Òîãäà ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå \(\rho'\!:{\mathscr A}(S_1)\to {\mathscr A}(S_2)\), èì ïîðîæä¸ííîå, òîïîëîãè÷åñêè èíúåêòèâíî.
Ñëåäóþùàÿ ëåììà ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç [50].
Ëåììà 45. Ïóñòü \(X\) — ïðîñòðàíñòâî Ôðåøå, à \(Y\) — åãî çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî, ïðè÷¸ì \(X/Y\) ÿâëÿåòñÿ ìîíòåëåâñêèì. Òîãäà îòîáðàæåíèå \(\sigma'\!:(X/Y)'\to X'\) ñèëüíûõ äâîéñòâåííûõ ïðîñòðàíñòâ, äâîéñòâåííîå ê ïðîåêöèè \(\sigma\!:X\to X/Y\), ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêè èíúåêòèâíûì.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 44. Ìîæíî îòîæäåñòâèòü \(S_1\) c çàìêíóòûì àíàëèòè÷åñêèì ïîäïðîñòðàíñòâîì â \(S_2\).  ÷àñòíîñòè, ýòî çíà÷èò, ÷òî \(\mathcal{O}_{S_1}\) èçîìîðôåí ôàêòîðïó÷êó ïó÷êà \(\mathcal{O}_{S_2}\). Òàê êàê \((S_2,\mathcal{O}_{S_2})\) — ïðîñòðàíñòâî Øòåéíà, ìû ìîæåì ïðèìåíèòü òåîðåìó B Êàðòàíà è çàêëþ÷èòü, ÷òî ãîìîìîðôèçì \(\rho\!:\mathcal{O}(S_2)\to \mathcal{O}(S_1)\) ñþðúåêòèâåí.
Äàëåå, \(\mathcal{O}(S_1)\) ÿâëÿåòñÿ ÿäåðíûì ïðîñòðàíñòâîì Ôðåøå, ñì., íàïðèìåð, [38], à âñÿêîå ÿäåðíîå ïðîñòðàíñòâî Ôðåøå ÿâëÿåòñÿ ìîíòåëåâñêèì, ñì., íàïðèìåð, [56].
Òàê êàê \(\mathcal{O}(S_2)\) è \(\mathcal{O}(S_1)\) — ïðîñòðàíñòâà Ôðåøå, òî èç òåîðåìû îá îòêðûòîì îòîáðàæåíèè ñëåäóåò, ÷òî \(\mathcal{O}(S_1)\cong \mathcal{O}(S_2)/\mathop{\mathrm{Ker}}\rho\). Òåì ñàìûì ìû ìîæåì îòîæäåñòâèòü \(\rho'\!:{\mathscr A}(S_1)\to {\mathscr A}(S_2)\) ñ \((\mathcal{O}(S_2)/\mathop{\mathrm{Ker}}\rho)'\to \mathcal{O}(S_2)'\). Èòàê, ïîëîæèâ \(X=\mathcal{O}(S_1)\) è \(Y=\mathop{\mathrm{Ker}}\rho\) â ëåììå 45, ïîëó÷àåì, ÷òî îòîáðàæåíèå \(\rho'\) òîïîëîãè÷åñêè èíúåêòèâíî. ◻